Sea f : R → R definida por f(x) = x para x racional, y f(x) = x^3 para x irracional. En
 cuentre los a ∈ R donde f es continua, demostrando que es continua en esos puntos.

Para abordar este problema, necesitamos determinar los puntos \( a \in \mathbb{R} \) en los que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), definida por:

\[
f(x) = \begin{cases} 
x & \text{si } x \text{ es racional}, \\
x^3 & \text{si } x \text{ es irracional},
\end{cases}
\]

es continua.

### **Paso 1: Identificar los puntos donde \( f \) podría ser continua**

Para que \( f \) sea continua en un punto \( a \in \mathbb{R} \), debemos tener que el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( a \) coincida con el valor de \( f(a) \). Es decir:

\[
\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
\]

El límite debe ser el mismo independientemente de si \( x \) es racional o irracional. Así que necesitamos analizar el comportamiento de \( f(x) \) cuando \( x \) es cercano a \( a \), considerando ambos casos (cuando \( x \) es racional e irracional).

### **Paso 2: Evaluar la continuidad en \( a = 0 \)**

Primero, consideremos el caso en \( a = 0 \).

1. **Para \( x \) racional**: Si \( x \) es racional y \( x \) tiende a 0, entonces \( f(x) = x \) y el límite es:
   \[
   \lim_{x \to 0, x \in \mathbb{Q}} f(x) = \lim_{x \to 0, x \in \mathbb{Q}} x = 0
   \]

2. **Para \( x \) irracional**: Si \( x \) es irracional y \( x \) tiende a 0, entonces \( f(x) = x^3 \) y el límite es:
   \[
   \lim_{x \to 0, x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} f(x) = \lim_{x \to 0, x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} x^3 = 0
   \]

Como ambos límites coinciden y además \( f(0) = 0 \), se concluye que \( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \). Por lo tanto, \( f \) es continua en \( a = 0 \).

### **Paso 3: Evaluar la continuidad en \( a \neq 0 \)**

Ahora consideremos el caso general para \( a \in \mathbb{R} \), \( a \neq 0 \):

1. **Para \( x \) racional**: Si \( x \) es racional y \( x \) tiende a \( a \), entonces \( f(x) = x \) y el límite es:
   \[
   \lim_{x \to a, x \in \mathbb{Q}} f(x) = \lim_{x \to a, x \in \mathbb{Q}} x = a
   \]

2. **Para \( x \) irracional**: Si \( x \) es irracional y \( x \) tiende a \( a \), entonces \( f(x) = x^3 \) y el límite es:
   \[
   \lim_{x \to a, x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} f(x) = \lim_{x \to a, x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} x^3 = a^3
   \]

Para que \( f \) sea continua en \( a \), ambos límites deben coincidir y además deben ser iguales a \( f(a) \). Esto implica que:

\[
a = a^3
\]

La ecuación \( a = a^3 \) se puede reescribir como:

\[
a(a^2 - 1) = 0
\]

Esto tiene soluciones en \( a = 0 \) o \( a = \pm 1 \).

### **Paso 4: Verificación de la continuidad en \( a = 1 \) y \( a = -1 \)**

Ahora verifiquemos la continuidad en \( a = 1 \) y \( a = -1 \):

- Para \( a = 1 \):
  - \( \lim_{x \to 1, x \in \mathbb{Q}} f(x) = 1 \)
  - \( \lim_{x \to 1, x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} f(x) = 1^3 = 1 \)
  - Como \( f(1) = 1 \), la función es continua en \( a = 1 \).

- Para \( a = -1 \):
  - \( \lim_{x \to -1, x \in \mathbb{Q}} f(x) = -1 \)
  - \( \lim_{x \to -1, x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} f(x) = (-1)^3 = -1 \)
  - Como \( f(-1) = -1 \), la función es continua en \( a = -1 \).

### **Conclusión**

La función \( f(x) \) es continua en los puntos \( a = 0 \), \( a = 1 \) y \( a = -1 \). En cualquier otro punto \( a \neq 0, 1, -1 \), los límites laterales no coinciden, por lo que \( f(x) \) no es continua en esos puntos.

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? ¿Tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afecta la densidad de los números racionales e irracionales a la continuidad de funciones definidas por casos?
2. ¿Qué otros tipos de funciones por partes tienen propiedades similares de continuidad?
3. ¿Qué ocurre con la derivabilidad de la función \( f(x) \) en los puntos donde es continua?
4. ¿Qué sucede si cambiamos la función irracional a \( f(x) = x^2 \)? ¿Cómo cambiarían los puntos de continuidad?
5. ¿Cómo se comporta la función \( f(x) \) en un entorno pequeño alrededor de los puntos donde es discontinua?

### Tip:
Recuerda que la continuidad en funciones definidas por partes requiere que los límites laterales coincidan y sean iguales al valor de la función en el punto.

Explore the continuity of the function f(x) = x for rational x and f(x) = x^3 for irrational x. Learn how to identify points of continuity and prove continuity at those points using limit definitions. Suitable for university-level students studying analysis and advanced calculus.

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