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Le dernier exercice dans le fichier que tu as fourni est l'**Exercice 5**. Il porte sur la distribution de lettres dans des boîtes et présente deux situations différentes.

Voici comment aborder et résoudre cet exercice :

### **Exercice 5 - Solution**

#### **1. Distribution des lettres sans regarder les noms :**
Dans cette partie, le facteur distribue les lettres de manière aléatoire, sans prêter attention aux noms.

- Soit \( \Omega \) l'ensemble des permutations des \( n \) lettres, c'est-à-dire toutes les façons possibles de distribuer \( n \) lettres dans \( n \) boîtes. Le cardinal de cet espace est \( |\Omega| = n! \), car chaque distribution est une permutation.

- \( A_i \) est l’événement où la lettre destinée au locataire \( i \) lui parvient. Cela correspond à une situation où la \( i \)-ème lettre se trouve dans la \( i \)-ème boîte.

- La probabilité que la lettre \( i \) soit bien dans la boîte \( i \) est \( P(A_i) = \frac{1}{n} \), car chaque lettre a une chance égale d'être dans une boîte donnée.

- Pour \( P(A_1 \cap A_2) \), il s'agit de la probabilité que les deux premières lettres soient dans leurs boîtes respectives. Cela correspond à \( \frac{1}{n(n-1)} \), puisque après avoir assigné la première lettre, il reste \( n-1 \) boîtes pour la deuxième.

- Pour \( P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) \), c'est la probabilité que toutes les lettres soient dans leurs boîtes respectives, ce qui correspond à une seule permutation possible : la permutation identité. La probabilité est donc \( P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = \frac{1}{n!} \).

- Enfin, pour \( P(A_1 \cup A_2) \), il s'agit de la probabilité que soit la première lettre soit bien placée, soit la deuxième, soit les deux. On utilise la formule d'inclusion-exclusion :

  \[
  P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n(n-1)}.
  \]

#### **2. Distribution avec oubli de l'emplacement des lettres :**
Dans cette partie, le facteur oublie où il a déjà placé les lettres, ce qui modifie la distribution.

- Soit \( \Omega \) l'ensemble des façons de distribuer \( n \) lettres dans \( n \) boîtes, mais sans suivre un ordre strict, ce qui complique un peu les calculs par rapport à la première situation.

- \( B_i \) est l'événement où la boîte du locataire \( i \) est vide. Comme toutes les boîtes sont équiprobables, la probabilité que la boîte \( i \) soit vide est \( P(B_i) = \frac{n-1}{n} \).

- Pour \( P(B_1 \cap B_2) \), il s'agit de la probabilité que les boîtes des locataires \( 1 \) et \( 2 \) soient toutes les deux vides. Il reste alors \( n-2 \) lettres à distribuer dans \( n \) boîtes, donc :

  \[
  P(B_1 \cap B_2) = \frac{(n-1)(n-2)}{n^2}.
  \]

- Pour \( P(B_1 \cup B_2) \), on applique à nouveau la formule d'inclusion-exclusion :

  \[
  P(B_1 \cup B_2) = P(B_1) + P(B_2) - P(B_1 \cap B_2) = \frac{n-1}{n} + \frac{n-1}{n} - \frac{(n-1)(n-2)}{n^2}.
  \]

- Enfin, pour \( P(B_1 \cup \dots \cup B_n) \), il s'agit de la probabilité que toutes les boîtes soient vides. Cela équivaut à \( 0 \), car il est impossible que toutes les boîtes soient vides lorsqu'on distribue \( n \) lettres dans \( n \) boîtes.

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Si tu as des questions ou si tu veux des détails supplémentaires, fais-le moi savoir.

Voici 5 questions connexes pour approfondir :
1. Comment la formule d'inclusion-exclusion est-elle utilisée pour calculer des probabilités d'unions d'événements ?
2. Quelle est la différence entre les deux méthodes de distribution dans cet exercice ?
3. Comment calculer les probabilités d'intersections d'événements pour plus de deux lettres ?
4. Pourquoi la probabilité que toutes les boîtes soient vides est-elle nulle dans la deuxième situation ?
5. Comment généraliser cette méthode à des distributions où le nombre de boîtes est différent du nombre de lettres ?

**Conseil :** Lorsque vous traitez des événements indépendants ou des distributions aléatoires, la formule d'inclusion-exclusion est essentielle pour éviter de surcompter les cas d'intersection.

Learn how to solve a letter distribution problem using probability concepts such as permutations and the inclusion-exclusion principle. This exercise, suitable for 2nd-year university students, covers how to calculate probabilities of letters being correctly placed in boxes under different scenarios.

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