Una tripulación pirata se embarca en una aventura, parten de la isla A 
hacia la isla B y recorren una distancia de 127 km, posteriormente 
parten de la isla B hacia la C recorriendo una distancia de 58 km donde 
encuentran el tesoro que andaban buscando, por lo que se disponen 
a regresar a la isla A. El capitán necesita saber cuánta distancia van 
a recorrer para poder abastecerse de suministros, por lo cual le 
pregunta a su navegante qué ángulo hay entre sus dos viajes 
anteriores a lo que le contesta que hay 98.2°. ¿Cuántos km van a 
recorrer en su viaje a la isla A?

Para resolver este problema, podemos aplicar la **ley de los cosenos** en el triángulo formado por las islas A, B y C.

### Datos del problema:
- \( AB = 127 \, \text{km} \)
- \( BC = 58 \, \text{km} \)
- Ángulo \( \angle ABC = 98.2^\circ \)

Necesitamos encontrar la distancia \( AC \), que es la distancia que los piratas recorrerán al regresar a la isla A desde la isla C.

### Aplicación de la ley de los cosenos:
La ley de los cosenos establece que en cualquier triángulo, si conocemos dos lados y el ángulo entre ellos, podemos encontrar el tercer lado con la siguiente fórmula:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\theta)
\]

Donde:
- \( AB = 127 \, \text{km} \)
- \( BC = 58 \, \text{km} \)
- \( \theta = 98.2^\circ \)

### Cálculo:

Primero, convertimos el ángulo a radianes (si es necesario, aunque muchas calculadoras permiten usar grados directamente).

\[
AC^2 = 127^2 + 58^2 - 2 \cdot 127 \cdot 58 \cdot \cos(98.2^\circ)
\]

Calculando paso a paso:

\[
AC^2 = 16129 + 3364 - 2 \cdot 127 \cdot 58 \cdot \cos(98.2^\circ)
\]

Calculando el producto de los lados y el coseno:

\[
AC^2 = 16129 + 3364 - 14732 \cdot \cos(98.2^\circ)
\]

El valor de \( \cos(98.2^\circ) \) es aproximadamente -0.1486 (puedes verificar con una calculadora).

\[
AC^2 = 16129 + 3364 + 14732 \cdot 0.1486
\]

\[
AC^2 = 16129 + 3364 + 2189.52 \approx 21682.52
\]

Finalmente, calculamos la raíz cuadrada para encontrar \( AC \):

\[
AC \approx \sqrt{21682.52} \approx 147.2 \, \text{km}
\]

### Respuesta:
La distancia que los piratas tendrán que recorrer para regresar a la isla A es de aproximadamente **147.2 km**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

---

**Preguntas Relativas:**
1. ¿Cómo se usa la ley de los cosenos en diferentes contextos?
2. ¿Qué otros métodos se pueden utilizar para resolver triángulos no rectángulos?
3. ¿Qué es el coseno y cómo se relaciona con los ángulos?
4. ¿Cómo afecta el ángulo entre dos lados en la longitud del tercer lado?
5. ¿Qué sucede si el ángulo es mayor a 90° en la ley de los cosenos?

**Tip:** Recuerda siempre revisar la calculadora para asegurarte de que está configurada en la unidad correcta (grados o radianes) antes de calcular cosenos y otros valores trigonométricos.

Una tripulación pirata se embarca en una aventura, parten de la isla A hacia la isla B y recorren una distancia de 127 km, posteriormente parten de la isla B hacia la C recorriendo una distancia de 58 km donde encuentran el tesoro que andaban buscando, por lo que se disponen a regresar a la isla A. El capitán necesita saber cuánta distancia van a recorrer para poder abastecerse de suministros, por lo cual le pregunta a su navegante qué ángulo hay entre sus dos viajes anteriores a lo que le contesta que hay 98.2°. ¿Cuántos km van a recorrer en su viaje a la isla A?

Solve a real-world problem involving a pirate crew's adventure, using the law of cosines to calculate the distance between islands A and C. The problem includes distances of 127 km and 58 km with a 98.2° angle, applying the cosines formula. Suitable for Grades 10-12.

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