Um eine **Kurvendiskussion** für die Funktion \( y = x^2 + \frac{1}{x^2 - 1} \) durchzuführen, analysieren wir Schritt für Schritt verschiedene Eigenschaften der Funktion:

### 1. Definitionsbereich:
Die Funktion ist nicht überall definiert. Es gibt Stellen, an denen der Nenner \( x^2 - 1 = 0 \) wird. Diese Stellen müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden:

\[
x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1
\]

Der Definitionsbereich der Funktion ist daher:
\[
D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}
\]

### 2. Symmetrie:
Wir untersuchen die Symmetrie der Funktion. Dazu prüfen wir, ob sie **gerade** oder **ungerade** ist:

- Gerade Funktion: \( f(-x) = f(x) \)
- Ungerade Funktion: \( f(-x) = -f(x) \)

Berechnen wir \( f(-x) \):

\[
f(-x) = (-x)^2 + \frac{1}{(-x)^2 - 1} = x^2 + \frac{1}{x^2 - 1} = f(x)
\]

Die Funktion ist **gerade**, da \( f(-x) = f(x) \).

### 3. Asymptoten:
- **Vertikale Asymptoten**: Diese treten bei den Stellen auf, wo der Nenner der gebrochenen Funktion null wird, also bei \( x = \pm 1 \).
  
  Die Funktion hat daher bei \( x = 1 \) und \( x = -1 \) **vertikale Asymptoten**.

- **Horizontale Asymptoten**: Um das Verhalten der Funktion für \( x \to \infty \) zu untersuchen, betrachten wir die Grenzwerte:

  \[
  \lim_{x \to \infty} \left( x^2 + \frac{1}{x^2 - 1} \right) = \lim_{x \to \infty} x^2 + 0 = \infty
  \]
  \[
  \lim_{x \to -\infty} \left( x^2 + \frac{1}{x^2 - 1} \right) = \infty
  \]

  Es gibt keine horizontale Asymptote.

### 4. Ableitungen:
- **Erste Ableitung** \( f'(x) \): 

  Wir verwenden die Quotientenregel für die Ableitung des Bruchs:

  \[
  f'(x) = 2x - \frac{2x}{(x^2 - 1)^2}
  \]

- **Zweite Ableitung** \( f''(x) \): Um die Krümmung der Funktion zu analysieren, berechnen wir die zweite Ableitung:

  \[
  f''(x) = 2 + \frac{6x^2 + 2}{(x^2 - 1)^3}
  \]

### 5. Extrem- und Wendepunkte:
- **Extrempunkte**: Diese finden wir, indem wir die erste Ableitung \( f'(x) = 0 \) setzen und nach \( x \) lösen. 

- **Wendepunkte**: Diese ermitteln wir, indem wir die zweite Ableitung \( f''(x) = 0 \) setzen.

Möchtest du die Details zur Berechnung der Extrem- und Wendepunkte sehen oder hast du dazu noch Fragen?

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**Weiterführende Fragen:**

1. Wie berechne ich die genauen Extrempunkte der Funktion?
2. Welche Auswirkungen haben die vertikalen Asymptoten auf das Verhalten der Funktion?
3. Wie kann man anhand der Ableitungen das Monotonieverhalten der Funktion bestimmen?
4. Welche Rolle spielt die zweite Ableitung bei der Bestimmung der Krümmung?
5. Gibt es noch andere Typen von Asymptoten, die man bei dieser Funktion untersuchen sollte?

**Tipp:** Überprüfe immer den Definitionsbereich vor der Analyse, um potenzielle Unstetigkeiten zu erkennen.

Perform a curve sketching (Kurvendiskussion) of the function y = x^2 + 1/(x^2 - 1) with step-by-step analysis. Explore its domain, symmetry, asymptotes, derivatives, and critical points. Suitable for advanced mathematics students in Grades 11-12.

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