Un niño de 1 metro de altura lanza una pelota en línea recta hacia arriba con una
velocidad de 2 metros por segundo. Si la pelota alcanza una altura máxima de 3
metros, calcula la velocidad con la que la pelota llego al suelo y el tiempo de que lo
hizo.

Para resolver este problema, usaremos las leyes de la cinemática y las ecuaciones del movimiento bajo aceleración constante. Dado que la pelota se mueve bajo la influencia de la gravedad, consideraremos una aceleración de \(-9.8 \, \text{m/s}^2\) hacia abajo.

### Datos:
- Altura inicial del niño: \( h_0 = 1 \, \text{m} \)
- Velocidad inicial: \( v_0 = 2 \, \text{m/s} \)
- Altura máxima: \( h_{\text{máx}} = 3 \, \text{m} \)
- Gravedad: \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)

#### 1. Velocidad al llegar al suelo
La velocidad con la que la pelota llega al suelo puede calcularse usando la **conservación de la energía** o las ecuaciones de movimiento. Usaremos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad final.

La altura total desde donde cae la pelota es la altura máxima alcanzada menos la altura inicial: 
\[
h_{\text{caída}} = h_{\text{máx}} = 3 \, \text{m}
\]

Utilizamos la siguiente ecuación para encontrar la velocidad cuando la pelota llega al suelo (donde \( h = 0 \)):
\[
v_f^2 = v_0^2 + 2 g h
\]
Dado que la velocidad inicial hacia arriba en el punto más alto es \(0\), y luego cae desde una altura de 3 m, reemplazamos en la ecuación:
\[
v_f^2 = 0 + 2 (9.8 \, \text{m/s}^2)(3 \, \text{m})
\]
\[
v_f = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 3} = \sqrt{58.8} \, \text{m/s}
\]
\[
v_f \approx 7.67 \, \text{m/s}
\]
La pelota llega al suelo con una velocidad de aproximadamente \( 7.67 \, \text{m/s} \).

#### 2. Tiempo que tarda en llegar al suelo
Para calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo, usamos la siguiente fórmula de la cinemática:
\[
h = h_0 + v_0 t + \frac{1}{2} g t^2
\]
Donde \( h = 0 \) (la altura final, es decir, el suelo), \( h_0 = 1 \, \text{m} \), \( v_0 = 2 \, \text{m/s} \) y \( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \) (negativa porque la gravedad está en sentido contrario a la dirección positiva de la altura).

Sustituyendo los valores en la ecuación:
\[
0 = 1 + 2t - 4.9 t^2
\]
Esto es una ecuación cuadrática en \( t \), que resolvemos como:
\[
4.9 t^2 - 2t - 1 = 0
\]
Resolviendo esta ecuación cuadrática con la fórmula general:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = 4.9 \), \( b = -2 \), y \( c = -1 \):
\[
t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(4.9)(-1)}}{2(4.9)}
\]
\[
t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 19.6}}{9.8}
\]
\[
t = \frac{2 \pm \sqrt{23.6}}{9.8}
\]
\[
t = \frac{2 \pm 4.86}{9.8}
\]
Obtenemos dos soluciones:
\[
t_1 = \frac{2 + 4.86}{9.8} = \frac{6.86}{9.8} \approx 0.7 \, \text{segundos}
\]
\[
t_2 = \frac{2 - 4.86}{9.8} = \frac{-2.86}{9.8} \quad \text{(se descarta porque el tiempo no puede ser negativo)}.
\]

Entonces, el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo es aproximadamente \( t \approx 0.7 \, \text{segundos} \).

### Resumen:
- La velocidad con la que la pelota llega al suelo es \( 7.67 \, \text{m/s} \).
- El tiempo que tarda en llegar al suelo es aproximadamente \( 0.7 \, \text{segundos} \).

¿Te gustaría ver los detalles de los cálculos o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se puede calcular el tiempo en una caída libre si solo conocemos la altura?
2. ¿Cómo afecta la velocidad inicial a la altura máxima que alcanza un objeto?
3. ¿Qué pasa si la pelota es lanzada con una velocidad inicial mayor? ¿Cómo cambiarían los resultados?
4. ¿Qué sucede si la pelota se lanza desde una mayor altura inicial?
5. ¿Cómo se relacionan la energía potencial y la energía cinética en este tipo de problemas?

**Tip**: Recuerda que la aceleración debida a la gravedad es constante en la Tierra, lo que simplifica los cálculos en problemas de caída libre y lanzamiento vertical.

Un niño de 1 metro de altura lanza una pelota en línea recta hacia arriba con una velocidad de 2 metros por segundo. Si la pelota alcanza una altura máxima de 3 metros, calcula la velocidad con la que la pelota llegó al suelo y el tiempo que lo hizo.

This kinematics problem involves a ball thrown vertically from a height of 1 meter with an initial speed of 2 m/s. Learn how to calculate the final velocity as the ball reaches the ground and the time taken using the equations of motion and quadratic formula. Suitable for Grades 10-12 physics students.

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