Para justificar que \(\frac{dZ}{dX} = 1\) dado que \( Z = X + Y \), sigamos estos pasos:

### 1. **Definición de \( Z \):**
Se nos da que:
\[
Z = X + Y
\]
Aquí, \(Z\) es la suma de \(X\) e \(Y\).

### 2. **Interpretación de la derivada parcial \(\frac{dZ}{dX}\):**
La derivada parcial \(\frac{dZ}{dX}\) mide cómo cambia \(Z\) cuando \(X\) varía, mientras se mantiene \(Y\) constante. Esto es crucial, ya que \(Y\) no depende de \(X\), por lo tanto, cuando derivamos \(Z\) con respecto a \(X\), \(Y\) se trata como una constante.

### 3. **Derivación de \( Z = X + Y \):**
Cuando derivamos \( Z \) con respecto a \( X \), el término \( X \) varía mientras que \( Y \) permanece constante. Entonces:
\[
\frac{dZ}{dX} = \frac{d}{dX}(X + Y)
\]

Dado que \( Y \) es constante con respecto a \( X \), su derivada es 0. Por lo tanto:
\[
\frac{dZ}{dX} = \frac{d}{dX}(X) + \frac{d}{dX}(Y) = 1 + 0 = 1
\]

### 4. **Conclusión:**
La derivada \(\frac{dZ}{dX} = 1\) porque \( Z \) es una función lineal de \( X \), y \( Y \) no depende de \( X \). Al derivar \( Z \) con respecto a \( X \), obtenemos 1 por el término \( X \) y 0 por el término \( Y \), lo que justifica que:
\[
\frac{dZ}{dX} = 1
\]

¿Te gustaría explorar más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo cambiaría la derivada si \( Z = X^2 + Y \) en lugar de \( Z = X + Y \)?
2. ¿Qué sucede con \(\frac{dZ}{dY}\) y cómo se justifica?
3. ¿Cómo se interpreta geométricamente la derivada parcial \(\frac{dZ}{dX}\)?
4. ¿Qué papel juegan las derivadas parciales en la ecuación de planos en el espacio?
5. ¿Cómo se aplican estas derivadas en problemas de optimización?

### Tip:
Cuando trabajes con derivadas parciales, recuerda identificar qué variables se mantienen constantes y cuáles están cambiando. Esto te ayudará a evitar errores comunes en cálculos.

Understand how to justify that the partial derivative dZ/dX = 1 for the function Z = X + Y. This problem explores derivative rules for sums and partial derivatives, crucial for advanced high school and college-level mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation