Jose pedro sube los escalones de su edificio de 1 en 1 o de 2 en 2, pero nunca de 3 en 3. Si tiene que subir una escala de 10 escalones, pisando obligatoriamente el sexto escalón donde hay un descanso, ¿de cuántas maneras lo puede hacer?

Para resolver este problema, analizaremos cómo José Pedro puede llegar al sexto escalón (donde hay un descanso) y luego cómo puede ir del sexto al décimo escalón. José Pedro puede subir de 1 en 1 o de 2 en 2, pero nunca de 3 en 3.

### Paso 1: Maneras de llegar al sexto escalón

Llamaremos \( f(n) \) al número de maneras de llegar al escalón \( n \). Como José Pedro solo puede usar pasos de 1 o 2:

- \( f(1) = 1 \): Solo una manera (1 paso de 1).
- \( f(2) = 2 \): Dos maneras (1+1 o 2).

Para \( n \geq 3 \), la relación de recurrencia es:

\[
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
\]

Esto se debe a que puede llegar al escalón \( n \) desde el escalón \( n-1 \) con un paso de 1, o desde el escalón \( n-2 \) con un paso de 2.

Calculemos \( f(6) \):

\[
\begin{align*}
f(3) & = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3 \\
f(4) & = f(3) + f(2) = 3 + 2 = 5 \\
f(5) & = f(4) + f(3) = 5 + 3 = 8 \\
f(6) & = f(5) + f(4) = 8 + 5 = 13 \\
\end{align*}
\]

Hay 13 maneras de llegar al sexto escalón.

### Paso 2: Maneras de ir del sexto al décimo escalón

Ahora necesitamos encontrar el número de maneras de ir desde el sexto escalón (donde descansa) hasta el décimo escalón:

Calcularemos desde \( f(6) \) hasta \( f(10) \):

\[
\begin{align*}
f(7) & = f(6) + f(5) = 13 + 8 = 21 \\
f(8) & = f(7) + f(6) = 21 + 13 = 34 \\
f(9) & = f(8) + f(7) = 34 + 21 = 55 \\
f(10) & = f(9) + f(8) = 55 + 34 = 89 \\
\end{align*}
\]

Hay 89 maneras de ir desde el sexto hasta el décimo escalón.

### Combinación de ambos segmentos

Las combinaciones posibles son:

- \( 13 \) maneras de llegar al sexto escalón,
- y \( 89 \) maneras de ir del sexto al décimo escalón.

Por lo tanto, el número total de maneras de subir la escalera es:

\[
13 \times 89 = 1157
\]

**Respuesta**: José Pedro puede subir la escalera de 10 escalones de **1157** maneras diferentes, pisando obligatoriamente el sexto escalón.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo cambiarían las combinaciones si José Pedro pudiera subir escalones de 3 en 3?
2. ¿Qué ocurriría si el descanso estuviera en un escalón diferente, como el cuarto o el séptimo?
3. ¿Cuántas maneras tendría José Pedro de subir una escalera de 10 escalones si pudiera usar pasos de 1, 2 y 3?
4. ¿Cómo se resolvería el problema si la escalera tuviera 15 escalones?
5. ¿Qué pasaría si José Pedro solo pudiera subir de 1 en 1?

**Tip:** En problemas de escalones, utilizar la relación de recurrencia basada en los pasos permitidos es una técnica eficaz para contar el número de maneras posibles.

Explore Jose Pedro's staircase problem where he climbs stairs in steps of 1 or 2 but never 3, counting ways to reach the 10th step with a mandatory rest at the 6th step. Learn how to apply combinatorial techniques and recurrence relations to solve this problem effectively.

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