Mostre que a interseção de dois subgrupos normais de um grupo G é um subgrupo normal de G.

Para demonstrar que a interseção de dois subgrupos normais \( N_1 \) e \( N_2 \) de um grupo \( G \) é um subgrupo normal de \( G \), seguiremos os seguintes passos:

### 1. Mostrar que a interseção é um subgrupo de \( G \)

Sejam \( N_1 \) e \( N_2 \) subgrupos normais de \( G \). Considere a interseção \( N = N_1 \cap N_2 \). Para \( N \) ser um subgrupo de \( G \), ele deve satisfazer três propriedades:

1. **Fechamento**: Se \( a, b \in N \), então \( a \cdot b \in N \).
2. **Elemento Identidade**: O elemento identidade \( e \) de \( G \) deve estar em \( N \).
3. **Inverso**: Se \( a \in N \), então \( a^{-1} \in N \).

**Fechamento**: Se \( a, b \in N \), então \( a \in N_1 \) e \( a \in N_2 \), e \( b \in N_1 \) e \( b \in N_2 \). Como \( N_1 \) e \( N_2 \) são subgrupos, \( a \cdot b \in N_1 \) e \( a \cdot b \in N_2 \). Portanto, \( a \cdot b \in N \).

**Elemento Identidade**: O elemento identidade \( e \) de \( G \) está em ambos \( N_1 \) e \( N_2 \) (pois são subgrupos), então \( e \in N \).

**Inverso**: Se \( a \in N \), então \( a \in N_1 \) e \( a \in N_2 \). Como \( N_1 \) e \( N_2 \) são subgrupos, \( a^{-1} \in N_1 \) e \( a^{-1} \in N_2 \). Portanto, \( a^{-1} \in N \).

Assim, \( N = N_1 \cap N_2 \) é um subgrupo de \( G \).

### 2. Mostrar que a interseção é um subgrupo normal de \( G \)

Para \( N \) ser normal em \( G \), devemos mostrar que para todo \( g \in G \) e \( n \in N \), \( gng^{-1} \in N \).

Seja \( n \in N \). Então, \( n \in N_1 \) e \( n \in N_2 \). Como \( N_1 \) e \( N_2 \) são normais em \( G \), temos que:

\[ gng^{-1} \in N_1 \quad \text{e} \quad gng^{-1} \in N_2 \]

Logo, \( gng^{-1} \in N_1 \cap N_2 = N \).

Portanto, \( gng^{-1} \in N \) para todo \( g \in G \) e \( n \in N \), o que implica que \( N \) é normal em \( G \).

### Conclusão

A interseção de dois subgrupos normais de um grupo \( G \) é um subgrupo normal de \( G \).

---

**Você gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta?**

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Qual é a definição formal de um subgrupo normal?
2. Como podemos usar essa propriedade em aplicações práticas em álgebra abstrata?
3. Existe uma propriedade semelhante para a união de dois subgrupos normais?
4. Como essa propriedade se relaciona com a teoria de grupos quocientes?
5. Pode a interseção de mais de dois subgrupos normais ser analisada da mesma maneira?

**Dica:** Em álgebra abstrata, a interseção de subgrupos normais preserva a normalidade devido à natureza dos automorfismos internos em um grupo.

Learn how to prove that the intersection of two normal subgroups in a group G is itself a normal subgroup. This solution covers core group theory concepts such as normal subgroups, subgroup intersections, and the properties of closure, identity, and inverses. Suitable for undergraduate students studying algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation