Integral de (2a/raiz de x) menos b/xcuadrada) mas 3c (Raiz cubica de xcuadrada) dx

Vamos a resolver la integral de la siguiente expresión:

\[
\int \left( \frac{2a}{\sqrt{x}} - \frac{b}{x^2} + 3c \cdot \sqrt[3]{x^2} \right) dx
\]

### Paso 1: Resolver cada término por separado.

1. **Término 1:** \( \frac{2a}{\sqrt{x}} = 2a \cdot x^{-\frac{1}{2}} \)

   La integral de \( x^n \) es \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \), así que:

   \[
   \int 2a \cdot x^{-\frac{1}{2}} dx = 2a \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 4a \cdot \sqrt{x}
   \]

2. **Término 2:** \( \frac{b}{x^2} = b \cdot x^{-2} \)

   Aplicamos la regla de potencia para integrar:

   \[
   \int b \cdot x^{-2} dx = b \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{b}{x}
   \]

3. **Término 3:** \( 3c \cdot \sqrt[3]{x^2} = 3c \cdot x^{\frac{2}{3}} \)

   Nuevamente, usamos la regla de potencia para integrar:

   \[
   \int 3c \cdot x^{\frac{2}{3}} dx = 3c \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{9c}{5} \cdot x^{\frac{5}{3}}
   \]

### Paso 2: Sumar las integrales

Sumamos las tres integrales obtenidas:

\[
\int \left( \frac{2a}{\sqrt{x}} - \frac{b}{x^2} + 3c \cdot \sqrt[3]{x^2} \right) dx = 4a \cdot \sqrt{x} - \frac{b}{x} + \frac{9c}{5} \cdot x^{\frac{5}{3}} + C
\]

Donde \( C \) es la constante de integración.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la regla de la potencia en integrales?
2. ¿Cómo se maneja la constante de integración \( C \) en problemas más complejos?
3. ¿Qué sucede si una integral no tiene una solución analítica?
4. ¿Cómo se resuelven integrales con límites (integrales definidas)?
5. ¿Cuándo se utilizan integrales en física y geometría?

**Tip:** La regla de potencia es una de las más útiles y recurrentes para resolver integrales básicas.

Discover how to solve the integral of (2a/√x) - (b/x²) + 3c (³√x²) with a comprehensive, step-by-step approach. This guide covers key concepts such as the power rule for integration and simplifying algebraic fractions, tailored for high school students in Grades 10-12.

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