Para resolver la integral \(\int x \sqrt{2x + 1} \, dx\), usaremos un método de sustitución que simplifique la expresión. Aquí están los pasos detallados:

1. **Sustitución**: 
   Definimos una nueva variable para simplificar la raíz:
   \[
   u = 2x + 1
   \]
   
   Entonces, derivamos ambos lados con respecto a \(x\):
   \[
   du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}
   \]
   
   También, despejamos \(x\) en términos de \(u\):
   \[
   x = \frac{u - 1}{2}
   \]

2. **Reescribir la integral**:
   Sustituyendo \(x\), \(\sqrt{2x + 1}\), y \(dx\) en la integral original, obtenemos:
   \[
   \int x \sqrt{2x + 1} \, dx = \int \frac{u - 1}{2} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2}
   \]
   Simplificando:
   \[
   = \frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} \, du
   \]
   \[
   = \frac{1}{4} \int (u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{1}{2}}) \, du
   \]

3. **Integrar**:
   Integramos término a término:
   \[
   = \frac{1}{4} \left(\int u^{\frac{3}{2}} \, du - \int u^{\frac{1}{2}} \, du\right)
   \]
   \[
   = \frac{1}{4} \left(\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right) + C
   \]

4. **Sustituir \(u\) de vuelta a \(x\)**:
   Finalmente, volvemos a la variable \(x\):
   \[
   = \frac{1}{4} \left(\frac{2}{5} (2x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (2x + 1)^{\frac{3}{2}}\right) + C
   \]
   \[
   = \frac{1}{10} (2x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} (2x + 1)^{\frac{3}{2}} + C
   \]

### Respuesta Final:
\[
\int x \sqrt{2x + 1} \, dx = \frac{1}{10} (2x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} (2x + 1)^{\frac{3}{2}} + C
\]

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este procedimiento?

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**Tip:** Siempre revisa si la sustitución elegida simplifica la integral; si no es así, prueba otra técnica.

This detailed solution explains how to solve the integral ∫ x√(2x + 1) dx using substitution. Learn how to re-express the integral, perform the substitution, and integrate step by step. Suitable for advanced high school or undergraduate calculus students.

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