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resolver la integral paso a p aso detalldamente explicada

Para resolver la integral 

\[
\int \frac{1}{\theta^2} \sin\left(\frac{1}{\theta}\right) \cos\left(\frac{1}{\theta}\right) d\theta
\]

de manera detallada, seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Simplificación inicial usando una identidad trigonométrica

Primero, observamos que el producto de \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\) se puede expresar utilizando la identidad trigonométrica:

\[
\sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)
\]

En nuestro caso, \(x = \frac{1}{\theta}\), por lo que:

\[
\sin\left(\frac{1}{\theta}\right) \cos\left(\frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2}{\theta}\right)
\]

Sustituyendo esto en la integral original:

\[
\int \frac{1}{\theta^2} \sin\left(\frac{1}{\theta}\right) \cos\left(\frac{1}{\theta}\right) d\theta = \int \frac{1}{2\theta^2} \sin\left(\frac{2}{\theta}\right) d\theta
\]

### Paso 2: Sustitución

Realizaremos una sustitución para simplificar la integral. Sea \(u = \frac{2}{\theta}\), entonces:

\[
du = -\frac{2}{\theta^2} d\theta
\]

Esto implica que:

\[
d\theta = -\frac{\theta^2}{2} du
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \frac{1}{2\theta^2} \sin\left(\frac{2}{\theta}\right) d\theta = \int \frac{1}{2\theta^2} \sin(u) \left(-\frac{\theta^2}{2}\right) du
\]

Simplificando:

\[
\int -\frac{1}{4} \sin(u) du
\]

### Paso 3: Resolución de la integral simplificada

Ahora, resolvemos la integral:

\[
-\frac{1}{4} \int \sin(u) du
\]

La integral de \(\sin(u)\) es:

\[
\int \sin(u) du = -\cos(u)
\]

Entonces:

\[
-\frac{1}{4} \int \sin(u) du = \frac{1}{4} \cos(u)
\]

### Paso 4: Sustitución inversa

Finalmente, revertimos la sustitución \(u = \frac{2}{\theta}\) en la respuesta:

\[
\frac{1}{4} \cos\left(\frac{2}{\theta}\right) + C
\]

donde \(C\) es la constante de integración. Por lo tanto, la solución de la integral es:

\[
\int \frac{1}{\theta^2} \sin\left(\frac{1}{\theta}\right) \cos\left(\frac{1}{\theta}\right) d\theta = \frac{1}{4} \cos\left(\frac{2}{\theta}\right) + C
\]

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelve una integral por partes?
2. ¿Qué otras identidades trigonométricas se pueden usar para simplificar integrales?
3. ¿Cómo se realiza la sustitución en integrales más complicadas?
4. ¿Cuál es la diferencia entre integración directa y por sustitución?
5. ¿Qué es una constante de integración y por qué es importante?
6. ¿Cómo se resuelven integrales que involucran funciones trigonométricas?
7. ¿Qué técnicas existen para verificar si una integral se resolvió correctamente?
8. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en la integración?

### Tip:
Al trabajar con integrales, siempre es útil revisar si se puede simplificar la expresión original mediante identidades trigonométricas o algebraicas antes de proceder con técnicas más complejas.

Explore a detailed step-by-step solution to the integral ∫ (1/θ^2) sin(1/θ) cos(1/θ) dθ. This problem involves using trigonometric identities and the substitution method to simplify and integrate the function. Suitable for advanced mathematics enthusiasts and students.

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