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resuelve la integral paso a paso y detalldamente explicada, por sustititucion

Vamos a resolver la integral \(\int \frac{1}{\theta^2} \sin\left(\frac{1}{\theta}\right) \cos\left(\frac{1}{\theta}\right) d\theta\) mediante el método de sustitución.

### Paso 1: Identificar una sustitución adecuada
Observamos que la función dentro del seno y el coseno es \(\frac{1}{\theta}\). Esto sugiere que podemos hacer la sustitución:
\[
u = \frac{1}{\theta}
\]
Entonces, al derivar \(u\) con respecto a \(\theta\), obtenemos:
\[
du = -\frac{1}{\theta^2} d\theta \quad \text{o equivalente,} \quad d\theta = -\theta^2 du
\]
Como \(u = \frac{1}{\theta}\), también podemos escribir \(\theta = \frac{1}{u}\). Al sustituir en la integral, también reemplazaremos \(\frac{1}{\theta^2} d\theta\) por \(-du\).

### Paso 2: Sustitución en la integral
Ahora sustituimos todo en la integral:
\[
\int \frac{1}{\theta^2} \sin\left(\frac{1}{\theta}\right) \cos\left(\frac{1}{\theta}\right) d\theta = \int \sin(u) \cos(u) \cdot (-du)
\]
Esto se simplifica a:
\[
-\int \sin(u) \cos(u) \, du
\]

### Paso 3: Resolver la nueva integral
La integral \(\int \sin(u) \cos(u) \, du\) se puede resolver usando una identidad trigonométrica. Sabemos que:
\[
\sin(u) \cos(u) = \frac{1}{2} \sin(2u)
\]
Entonces, la integral se transforma en:
\[
-\int \frac{1}{2} \sin(2u) \, du
\]
Esto se puede simplificar aún más:
\[
-\frac{1}{2} \int \sin(2u) \, du
\]

### Paso 4: Integrar y revertir la sustitución
La integral de \(\sin(2u)\) con respecto a \(u\) es:
\[
\int \sin(2u) \, du = -\frac{1}{2} \cos(2u)
\]
Entonces:
\[
-\frac{1}{2} \int \sin(2u) \, du = -\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \cos(2u)\right) = \frac{1}{4} \cos(2u)
\]

Finalmente, revertimos la sustitución \(u = \frac{1}{\theta}\):
\[
\frac{1}{4} \cos\left(2 \cdot \frac{1}{\theta}\right)
\]

### Respuesta Final
Por lo tanto, la integral dada es:
\[
\int \frac{1}{\theta^2} \sin\left(\frac{1}{\theta}\right) \cos\left(\frac{1}{\theta}\right) d\theta = \frac{1}{4} \cos\left(\frac{2}{\theta}\right) + C
\]
donde \(C\) es la constante de integración.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo se elige una sustitución adecuada para una integral?
2. ¿Por qué es importante revertir la sustitución al final del proceso?
3. ¿Qué otras técnicas de integración pueden aplicarse en integrales trigonométricas?
4. ¿Cómo se pueden reconocer patrones para aplicar identidades trigonométricas en integrales?
5. ¿Qué sucede si no se aplica correctamente la constante de integración?
6. ¿En qué otros contextos se utiliza la sustitución trigonométrica en cálculos avanzados?
7. ¿Qué ventajas tiene el método de sustitución sobre otros métodos de integración?
8. ¿Cómo se puede interpretar geométricamente el resultado de una integral?

**Tip:** Practica identificar posibles sustituciones en integrales complejas antes de intentar resolverlas. Esto facilita el proceso y minimiza errores.

Learn how to solve the integral ∫ (1/θ^2) sin(1/θ) cos(1/θ) dθ step-by-step using substitution method. Detailed explanation with trigonometric identities. Suitable for advanced college-level students.

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