La integral de \( \frac{6}{1 - t^2} \) se puede resolver utilizando una sustitución directa conocida de integrales. La forma que tiene el denominador \( 1 - t^2 \) sugiere que podemos utilizar la identidad de las funciones hiperbólicas o trigonométricas inversas.

La integral general de \( \frac{1}{1 - x^2} \) es una forma conocida de la función arco tangente hiperbólica o arcotangente. Se puede reescribir como:

\[
\int \frac{6}{1 - t^2} dt = 6 \cdot \int \frac{1}{1 - t^2} dt
\]

Sabemos que:

\[
\int \frac{1}{1 - t^2} dt = \text{arctanh}(t) \quad \text{o} \quad \text{arctan}(t) \quad \text{(dependiendo de la definición del intervalo de t)}.
\]

Por lo tanto, la solución es:

\[
6 \cdot \text{arctanh}(t) + C
\]

donde \( C \) es la constante de integración.

¿Te gustaría más detalles sobre esta solución o alguna aclaración adicional?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se deduce la forma de la integral usando funciones trigonométricas?
2. ¿Cuál es la relación entre la función arcotangente y el cálculo de integrales?
3. ¿Qué pasa si el denominador fuese \( 1 + t^2 \) en lugar de \( 1 - t^2 \)?
4. ¿Cómo se usan las sustituciones hiperbólicas en la integración?
5. ¿Cuáles son otras aplicaciones de la función \( \text{arctanh}(t) \) en matemáticas?

**Tip:** Para resolver integrales con denominadores de la forma \( 1 - t^2 \), la sustitución trigonométrica \( t = \sin(x) \) o \( t = \tanh(x) \) puede ser muy útil.

Discover how to solve the integral of 6/(1 - t^2) using inverse hyperbolic functions, specifically the arc hyperbolic tangent function (arctanh). This solution involves substitution techniques and provides a step-by-step breakdown for calculus students at the university level.

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