. Oscar Gutiérrez asegura su vida por 20 años en la cantidad de Q.20,000.00,
pagando una prima de Q.625 por cada Q.1,000.00 de seguro. Al terminar el plazo
recibe de la Cía., el importe del seguro. ¿Cuál es la utilidad de la Cía. si ha invertido 
el dinero recibido al 4 % de interés nominal acumulable 2 veces al año?

El problema nos pide determinar la **utilidad de la compañía** de seguros si invierte el dinero de las primas que Oscar Gutiérrez pagó durante 20 años, obteniendo un interés nominal del 4% anual compuesto semestralmente.

**Pasos para resolver el problema:**

### 1. Cálculo del monto total de la prima pagada por Oscar
Oscar asegura su vida por **Q.20,000.00** y paga **Q.625.00** por cada **Q.1,000.00** de seguro.

- La cantidad de seguro es **Q.20,000.00**.
- Entonces, la prima por Q.20,000.00 será:

\[
\text{Prima total} = \frac{Q.20,000.00}{Q.1,000.00} \times Q.625.00 = 20 \times 625 = Q.12,500.00
\]

Esto es lo que Oscar pagará en total.

### 2. Interés compuesto que obtiene la compañía

La compañía invierte la cantidad recibida (Q.12,500.00) al **4% nominal anual**, compuesto **dos veces al año** (cada 6 meses). El número de períodos de interés es de **20 años**, lo que significa que hay **40 semestres** en total.

La fórmula del interés compuesto es:

\[
A = P \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}
\]

donde:
- \( A \) es el monto futuro,
- \( P = 12,500.00 \) es el capital invertido,
- \( r = 0.04 \) es la tasa de interés anual,
- \( n = 2 \) es el número de períodos de capitalización por año (2 semestres),
- \( t = 20 \) es el tiempo en años.

Sustituyendo los valores:

\[
A = 12,500 \left( 1 + \frac{0.04}{2} \right)^{2 \times 20}
\]
\[
A = 12,500 \left( 1 + 0.02 \right)^{40}
\]
\[
A = 12,500 (1.02)^{40}
\]

### 3. Cálculo de la utilidad
La utilidad de la compañía será la diferencia entre el monto acumulado \( A \) y lo que debe devolver a Oscar, es decir, el importe del seguro \( Q.20,000.00 \).

Vamos a calcular esto.El monto futuro acumulado que obtiene la compañía después de 20 años es de **Q.27,600.50**.

### 4. Cálculo de la utilidad
La compañía debe devolverle a Oscar el importe del seguro, que es **Q.20,000.00**. Por lo tanto, la utilidad de la compañía es:

\[
\text{Utilidad} = Q.27,600.50 - Q.20,000.00 = Q.7,600.50
\]

**Conclusión**: La utilidad de la compañía de seguros es **Q.7,600.50**.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes preguntas?  
Aquí tienes algunas preguntas adicionales que pueden interesarte:

1. ¿Cómo afectaría el interés compuesto trimestral en lugar de semestral?
2. ¿Qué sucedería si el plazo del seguro fuera de 30 años en lugar de 20?
3. ¿Cómo se calcula el interés compuesto de forma general?
4. ¿Qué pasaría si la tasa de interés fuera del 5% en lugar del 4%?
5. ¿Cómo calcular el monto si Oscar pagara una prima diferente?

**Tip**: Cuando inviertes a largo plazo, el número de períodos de capitalización (semestral, trimestral, etc.) puede hacer una gran diferencia en el resultado final debido al efecto del interés compuesto.

Oscar Gutiérrez asegura su vida por 20 años en la cantidad de Q.20,000.00, pagando una prima de Q.625 por cada Q.1,000.00 de seguro. Al terminar el plazo recibe de la Cía., el importe del seguro. ¿Cuál es la utilidad de la Cía. si ha invertido el dinero recibido al 4 % de interés nominal acumulable 2 veces al año?

Discover how to calculate the utility for a life insurance company that invested premiums paid by Oscar Gutiérrez over 20 years at a nominal interest rate of 4%, compounded semiannually. This problem explains premium calculations, compound interest formulas, and financial mathematics. Suitable for Grades 10-12.

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