 Sea la curva C de ecuación 2xy=1.  Identificar a C. 

La curva \( C \) dada por la ecuación \( 2xy = 1 \) es una **hipérbola**.

Para identificarla, primero reescribimos la ecuación en una forma más familiar:

\[
xy = \frac{1}{2}
\]

Esta es la ecuación de una hipérbola en la forma general \( xy = k \), donde \( k \) es una constante no nula (en este caso \( k = \frac{1}{2} \)).

### Propiedades de la hipérbola:
1. **Centro:** El centro de esta hipérbola es en el origen \((0,0)\).
2. **Asíntotas:** Las asíntotas de la hipérbola son las líneas rectas que pasan por el origen y son \( y = 0 \) (el eje \( x \)) y \( x = 0 \) (el eje \( y \)).
3. **Forma de la curva:** La hipérbola tendrá dos ramas, una en el primer cuadrante y la otra en el tercer cuadrante.

En general, la curva \( xy = k \) es una hipérbola cuyos ejes están inclinados a \(45^\circ\) respecto a los ejes coordenados \(x\) y \(y\). Las asíntotas de esta hipérbola son las líneas \(y = 0\) y \(x = 0\), lo que significa que la hipérbola nunca cruzará ni el eje \(x\) ni el eje \(y\).

**Conclusión:** La curva \(C\) descrita por \(2xy = 1\) es una hipérbola con centro en el origen y asíntotas sobre los ejes coordenados.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se encuentran las asíntotas de una hipérbola general?
2. ¿Qué ocurre si la constante \( k \) en \( xy = k \) es negativa?
3. ¿Cómo se transforma la ecuación de una hipérbola si su centro no está en el origen?
4. ¿Cuál es la diferencia entre las hipérbolas \( xy = k \) y las hipérbolas con ejes paralelos a los ejes coordenados?
5. ¿Cómo se determina la longitud del eje transversal de una hipérbola?

**Tip:** Para graficar una hipérbola, es útil primero identificar sus asíntotas, ya que la hipérbola se acercará a estas rectas pero nunca las intersectará.

Learn how to identify the curve described by the equation 2xy = 1. Understand the properties of hyperbolas, including their center, asymptotes, and general form. Suitable for advanced high school students and anyone interested in conic sections.

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