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Sea , la ecuación ordinaria de la hipérbola. ¿Cuál opción muestra la ecuación general?

La ecuación ordinaria que aparece en la imagen es la siguiente:

\[
\frac{(y - 3)^2}{4} - \frac{(x - 1)^2}{5} = 1
\]

Esta es la ecuación ordinaria de una hipérbola centrada en \((1, 3)\), donde el eje transverso es vertical debido a que el término positivo es el que contiene a la variable \(y\). Los denominadores \(4\) y \(5\) son los cuadrados de las longitudes de los semiejes.

Para convertirla en su **ecuación general** (es decir, la ecuación en forma \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\)), seguiremos los siguientes pasos:

1. Expandir los términos al cuadrado.
2. Multiplicar por los denominadores correspondientes.
3. Simplificar y reorganizar los términos para obtener la ecuación en forma general.

Voy a proceder a realizar los cálculos:

### Paso 1: Expandir los binomios al cuadrado

- \((y - 3)^2 = y^2 - 6y + 9\)
- \((x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\)

### Paso 2: Multiplicar por los denominadores

Multiplicamos toda la ecuación por los denominadores de los términos fraccionarios para eliminar las fracciones:

\[
5(y^2 - 6y + 9) - 4(x^2 - 2x + 1) = 20
\]

### Paso 3: Distribuir los factores

Ahora distribuimos los números 5 y -4 en cada uno de los términos:

\[
5y^2 - 30y + 45 - 4x^2 + 8x - 4 = 20
\]

### Paso 4: Simplificar

Agrupamos todos los términos en un lado de la ecuación:

\[
5y^2 - 4x^2 - 30y + 8x + 45 - 4 = 20
\]

Simplificamos los términos constantes:

\[
5y^2 - 4x^2 - 30y + 8x + 41 = 20
\]

Finalmente, restamos 20 de ambos lados para obtener la ecuación general:

\[
5y^2 - 4x^2 - 30y + 8x + 21 = 0
\]

### Ecuación general de la hipérbola:

\[
5y^2 - 4x^2 - 30y + 8x + 21 = 0
\]

¿Te gustaría más detalles sobre este procedimiento o tienes alguna pregunta adicional?

---

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas que pueden ayudarte a explorar más sobre el tema:

1. ¿Cómo se determina si el eje transverso de una hipérbola es horizontal o vertical?
2. ¿Cómo encontrar las asíntotas de una hipérbola a partir de su ecuación ordinaria?
3. ¿Cómo se obtienen los vértices de la hipérbola dada la ecuación ordinaria?
4. ¿Cómo se calculan las coordenadas de los focos de la hipérbola a partir de la ecuación?
5. ¿Cuál es la diferencia entre la ecuación de una elipse y una hipérbola en forma ordinaria?

**Tip:** Recuerda que en una hipérbola, el signo que diferencia sus ejes es el negativo en su ecuación, lo cual la distingue de las elipses.

Learn how to convert the standard form of a hyperbola, (y - 3)^2/4 - (x - 1)^2/5 = 1, to its general form. This solution covers key concepts in analytic geometry, including the properties of hyperbolas and their equations. Suitable for high school students.

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