
f(x)=(3x+5)/(x^2+x-2)
	Grafica la función resultante de la integral indefinida de la función f(x) en el plano cartesiano xy. en geogebra

Para graficar la función resultante de la integral indefinida de \( f(x) = \frac{3x + 5}{x^2 + x - 2} \) en el plano cartesiano utilizando GeoGebra, primero necesitamos encontrar la integral indefinida de \( f(x) \).

### Paso 1: Simplificar la función

La función dada es:

\[
f(x) = \frac{3x + 5}{x^2 + x - 2}
\]

Primero, factorizamos el denominador:

\[
x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
\]

Entonces, la función se puede escribir como:

\[
f(x) = \frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)}
\]

### Paso 2: Descomposición en fracciones parciales

Para integrar la función, descomponemos en fracciones parciales:

\[
\frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}
\]

Multiplicamos ambos lados por \((x - 1)(x + 2)\) para resolver \(A\) y \(B\):

\[
3x + 5 = A(x + 2) + B(x - 1)
\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones para \(A\) y \(B\):

1. \(A(x + 2) + B(x - 1) = 3x + 5\)
2. Comparando coeficientes de \(x\): \(A + B = 3\)
3. Comparando términos constantes: \(2A - B = 5\)

Solucionando el sistema:

\[
A = 2, \quad B = 1
\]

Por lo tanto, la fracción parcial es:

\[
\frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}
\]

### Paso 3: Integrar la función

Integrando ambos términos:

\[
\int f(x) \, dx = \int \left(\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}\right) \, dx
\]

\[
\int f(x) \, dx = 2\ln|x - 1| + \ln|x + 2| + C
\]

### Paso 4: Graficar en GeoGebra

Para graficar esta función en GeoGebra, sigue estos pasos:

1. Abre GeoGebra y selecciona la opción de entrada.
2. Introduce la función obtenida:

   ```
   y = 2ln(abs(x - 1)) + ln(abs(x + 2))
   ```

3. Ajusta el rango del gráfico si es necesario para observar mejor las características de la función.

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué representan los puntos de discontinuidad en la gráfica de esta función?
2. ¿Cómo afecta la constante de integración \( C \) en la gráfica de la función indefinida?
3. ¿Qué sucede con la función integrada cerca de las asíntotas \( x = 1 \) y \( x = -2 \)?
4. ¿Cómo se puede verificar la derivada de la función integrada para asegurar la corrección del resultado?
5. ¿Cómo cambia la gráfica si se añade un valor específico para \( C \)?

**Tip:** En GeoGebra, puedes utilizar `ln(abs(x))` para graficar logaritmos con valores absolutos y evitar errores de dominio en los gráficos.

Learn how to graph the indefinite integral of the function f(x) = (3x + 5) / (x^2 + x - 2) on the Cartesian plane using GeoGebra. Understand the steps involved in integrating a rational function, including decomposition into partial fractions and applying logarithmic rules. Suitable for advanced high school students and beyond.

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