que a1=2 y a4=54 halla la razon y la suma de los seis primeros terminos

Tenemos una progresión geométrica (PG) donde se nos dan los siguientes términos:

- \( a_1 = 2 \) (primer término)
- \( a_4 = 54 \) (cuarto término)

Para resolver esto, necesitamos encontrar la razón \( r \) y la suma de los seis primeros términos \( S_6 \).

### Paso 1: Hallar la razón \( r \)

En una progresión geométrica, el término \( a_n \) se calcula usando la fórmula:

\[
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
\]

Sabemos que:

\[
a_4 = a_1 \cdot r^3
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
54 = 2 \cdot r^3
\]

Ahora despejamos \( r^3 \):

\[
r^3 = \frac{54}{2} = 27
\]

\[
r = \sqrt[3]{27} = 3
\]

Por lo tanto, la razón es \( r = 3 \).

### Paso 2: Hallar la suma de los seis primeros términos

La suma de los primeros \( n \) términos de una progresión geométrica está dada por la fórmula:

\[
S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \quad \text{(si \( r \neq 1 \))}
\]

Para \( n = 6 \), \( a_1 = 2 \), y \( r = 3 \), tenemos:

\[
S_6 = \frac{2(1 - 3^6)}{1 - 3}
\]

Calculamos \( 3^6 \):

\[
3^6 = 729
\]

Ahora sustituimos en la fórmula:

\[
S_6 = \frac{2(1 - 729)}{1 - 3} = \frac{2(-728)}{-2} = 728
\]

Por lo tanto, la suma de los seis primeros términos es \( S_6 = 728 \).

---

¿Te gustaría que explicara algún paso con más detalle?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se derivan las fórmulas para la suma de una progresión geométrica?
2. ¿Cómo se puede verificar si una secuencia es una progresión geométrica?
3. ¿Qué sucede si la razón \( r \) es un número negativo en una progresión geométrica?
4. ¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica?
5. ¿Cómo se calcula el término general de una progresión geométrica?

**Tip**: En una progresión geométrica, el crecimiento o decrecimiento de los términos depende exponencialmente de la razón \( r \). Una razón mayor a 1 hace que la serie crezca rápidamente.

Learn how to find the common ratio and the sum of the first six terms of a geometric progression, where a1 = 2 and a4 = 54. This problem involves calculating the ratio using the formula for geometric sequences and determining the sum using the formula for the sum of the first n terms. Suitable for students in Grades 10-12.

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