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La série d'équations que vous avez partagées est un exemple de l'équilibre des forces sur un élément de fluide au repos. Détaillons chaque équation étape par étape.

### Première équation

\[
p_z S_{OBC} - p_n S_{ABC} \cos \theta - \rho g V_{OABC} = 0
\]

- \( p_z \) : Pression le long de l'axe vertical \( z \).
- \( p_n \) : Pression normale à la surface inclinée \( ABC \).
- \( S_{OBC} \) : Surface projetée sur le plan \( OBC \), perpendiculaire à \( z \).
- \( S_{ABC} \) : Surface de la face inclinée \( ABC \), en fonction de l'angle \( \theta \).
- \( \cos \theta \) : Projection de la pression \( p_n \) sur l'axe vertical \( z \), puisque \( \theta \) est l'angle entre la normale à la surface inclinée et \( z \).
- \( \rho \) : Densité du fluide.
- \( g \) : Accélération due à la gravité.
- \( V_{OABC} \) : Volume de l'élément de fluide en forme de tétraèdre (défini par les points \( O, A, B, C \)).

Cette première équation représente l'équilibre des forces sur le fluide en prenant en compte la force due à la pression sur la face \( OBC \) (term \( p_z S_{OBC} \)), la projection de la force normale \( p_n \) sur la surface \( ABC \) le long de \( z \) (avec \( \cos \theta \)), et le poids du fluide (avec le terme \( \rho g V_{OABC} \)).

### Deuxième équation

\[
p_z \left( \frac{\Delta x \Delta y}{2} \right) - p_n \left( \frac{\Delta x \Delta y}{2 \cos \theta} \right) \cos \theta - \rho g \left( \frac{\Delta x \Delta y \Delta z}{6} \right) = 0
\]

- \( \Delta x \Delta y \) : Aire de la projection de la surface inclinée sur le plan \( OBC \).
- \( \frac{\Delta x \Delta y}{2} \) : Aire de la base du triangle \( OBC \).
- \( \frac{\Delta x \Delta y}{2 \cos \theta} \) : Surface inclinée \( ABC \), ajustée pour la projection sur \( z \).
- \( \frac{\Delta x \Delta y \Delta z}{6} \) : Volume du tétraèdre \( OABC \).

Cette équation découle de la précédente et introduit les aires des surfaces et le volume élémentaire, en utilisant la géométrie du tétraèdre. Elle illustre l’équilibre entre la pression sur la surface projetée (\( OBC \)), la pression normale sur la surface inclinée (\( ABC \)), et la force gravitationnelle sur l’élément fluide.

### Troisième équation

\[
p_z - p_n - \frac{\rho g \Delta z}{3} = 0
\]

- Cette équation finale simplifie davantage les expressions en réduisant les termes géométriques et en se concentrant sur la différence de pression entre \( p_z \) et \( p_n \), tout en intégrant la force gravitationnelle avec \( \frac{\rho g \Delta z}{3} \).
- \( \frac{\rho g \Delta z}{3} \) correspond au terme de gravité distribué à travers le volume.

C'est l'équation finale de l'équilibre des forces, qui montre que la pression \( p_z \) à la surface inférieure est compensée par la pression \( p_n \) sur la surface inclinée et la force due au poids du fluide.

### Notes complémentaires :

1. La notation \( \cos \theta \) est employée pour ajuster la composante verticale de la force due à la pression normale \( p_n \).
2. Les forces gravitationnelles sont introduites par \( \rho g V_{OABC} \) et plus tard intégrées sous forme de \( \frac{\rho g \Delta z}{3} \), représentant l'effet du poids sur l'élément fluide.

### Avez-vous des questions ou aimeriez-vous des détails supplémentaires sur une étape spécifique ?

Voici 5 questions pour aller plus loin :
1. Comment la forme tétraédrique de l'élément de fluide influence-t-elle l'équilibre des forces ?
2. Pourquoi utilise-t-on la projection \( \cos \theta \) pour la pression normale \( p_n \) ?
3. Comment la gravité affecte-t-elle la répartition des forces dans cette analyse ?
4. Comment passerait-on de cet équilibre élémentaire à une analyse sur un volume plus grand ?
5. Quels sont les autres termes qu'on pourrait introduire si le fluide était en mouvement ?

**Tip :** Lorsque vous travaillez avec des équations d'équilibre de fluide, garder à l'esprit les projections des forces dans les différentes directions aide à clarifier les résultats.

Understand the force balance on a static fluid element. Explore key equations involving pressure forces and gravitational forces, including detailed explanations of projection and equilibrium concepts. Suitable for fluid mechanics students at an undergraduate level.

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