Considerando o modelo de regressão linear simples

y = β0 + β1z + ε (1)
Supondo que os erros ε são variáveis aletórias independentes e identicamente distribuida com média zero e
variância constante.
1.1 - Para n = 8, βˆ

0 = 25, 7097(2, 5027) e βˆ

1 = −1, 1258(0, 2536) , sendo os valores entre parenteses os erros

padrões dos seus respectivos estimadores. Teste a significância dos parâmetros do modelo;

Para testar a significância dos parâmetros \(\beta_0\) e \(\beta_1\) no modelo de regressão linear simples \(y = \beta_0 + \beta_1z + \varepsilon\), utilizamos o **teste t de Student**. O objetivo é verificar se os coeficientes estimados \(\hat{\beta}_0\) e \(\hat{\beta}_1\) são significativamente diferentes de zero.

### 1. Hipóteses para o teste:

Para \(\beta_0\):
- **Hipótese nula (\(H_0\))**: \(\beta_0 = 0\) (O intercepto não é significativo).
- **Hipótese alternativa (\(H_1\))**: \(\beta_0 \neq 0\) (O intercepto é significativo).

Para \(\beta_1\):
- **Hipótese nula (\(H_0\))**: \(\beta_1 = 0\) (O coeficiente angular não é significativo).
- **Hipótese alternativa (\(H_1\))**: \(\beta_1 \neq 0\) (O coeficiente angular é significativo).

### 2. Cálculo do valor da estatística t:

A estatística t para cada parâmetro é dada por:

\[
t_{\hat{\beta}_i} = \frac{\hat{\beta}_i}{\text{EP}(\hat{\beta}_i)}
\]

onde \(\hat{\beta}_i\) é o estimador do parâmetro \(\beta_i\) e \(\text{EP}(\hat{\beta}_i)\) é o erro padrão do estimador \(\hat{\beta}_i\).

#### Para \(\hat{\beta}_0\):

\[
t_{\hat{\beta}_0} = \frac{25,7097}{2,5027} \approx 10,27
\]

#### Para \(\hat{\beta}_1\):

\[
t_{\hat{\beta}_1} = \frac{-1,1258}{0,2536} \approx -4,44
\]

### 3. Determinação do valor crítico:

Com \(n = 8\) observações, temos \(n - 2 = 6\) graus de liberdade. Para um nível de significância \(\alpha\) usualmente escolhido como 0,05 (5%), o valor crítico \(t_{\alpha/2, \,6}\) pode ser obtido de uma tabela t de Student.

Consultando a tabela, para \(\alpha = 0,05\) e 6 graus de liberdade:

\[
t_{0,025, \,6} \approx 2,447
\]

### 4. Tomada de decisão:

Comparamos os valores absolutos das estatísticas t calculadas com o valor crítico:

- \(|t_{\hat{\beta}_0}| = 10,27 > 2,447\)
- \(|t_{\hat{\beta}_1}| = 4,44 > 2,447\)

### 5. Conclusão:

Ambos os coeficientes \(\hat{\beta}_0\) e \(\hat{\beta}_1\) são significativos ao nível de 5%, ou seja, rejeitamos a hipótese nula para ambos os parâmetros. Portanto, tanto o intercepto quanto o coeficiente angular são estatisticamente diferentes de zero.

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Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, estou à disposição!

Aqui estão 5 perguntas relativas para expandir o conteúdo:
1. Como se interpreta o valor de \(R^2\) em um modelo de regressão linear simples?
2. O que indica um coeficiente \(\hat{\beta}_1\) negativo em um modelo de regressão linear?
3. Como o aumento do tamanho da amostra (n) afeta o teste de significância dos coeficientes?
4. Quais são os pressupostos básicos para que o modelo de regressão linear seja válido?
5. Como podemos identificar e tratar a presença de outliers em uma regressão linear?

**Dica:** Ao realizar testes de hipótese em regressão linear, é importante verificar também os intervalos de confiança dos parâmetros, que fornecem uma estimativa mais informativa da variabilidade dos coeficientes.

Explore the significance testing of regression coefficients in a simple linear regression model with specific example calculations. Understand how to use the t-test to assess the significance of estimated parameters β0 and β1. Suitable for advanced undergraduate students and researchers.

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