encontrar punto crítico ∂B/∂p = -70p^2 + 130q + 30=0

La derivada parcial que mencionaste, \(\frac{\partial B}{\partial p}\), parece tener un formato incorrecto para este contexto de maximización de funciones. Vamos a corregir y revisar el procedimiento para obtener el punto crítico.

### Paso 1: Derivadas parciales

Revisemos nuevamente la función de beneficio total \( B(p, q) \):

\[
B(p, q) = (p - 3)(60 - 70p + 50q) + (q - 3)(30 + 80p - 90q)
\]

Ahora, vamos a calcular las derivadas parciales con respecto a \( p \) y \( q \).

1. **Derivada parcial con respecto a \( p \):**

\[
\frac{\partial B}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p}[(p - 3)(60 - 70p + 50q) + (q - 3)(30 + 80p - 90q)]
\]

Expandiendo el término:

\[
\frac{\partial B}{\partial p} = 60 - 140p + 50q + 80q - 240
\]

Simplificando:

\[
\frac{\partial B}{\partial p} = -140p + 130q - 180
\]

2. **Derivada parcial con respecto a \( q \):**

\[
\frac{\partial B}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial q}[(p - 3)(60 - 70p + 50q) + (q - 3)(30 + 80p - 90q)]
\]

Expandiendo el término:

\[
\frac{\partial B}{\partial q} = -180q + 130p - 180
\]

### Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones para los puntos críticos

Para encontrar los puntos críticos, igualamos las derivadas parciales a cero:

1. \(-140p + 130q - 180 = 0\)
2. \(-180q + 130p - 180 = 0\)

Resolvamos este sistema de ecuaciones lineales.Las soluciones para los precios que maximizan el beneficio son:

\[
p = \frac{-558}{83} \approx -6.72
\]
\[
q = \frac{-486}{83} \approx -5.86
\]

Dado que los precios \(p\) y \(q\) no pueden ser negativos en un contexto real, parece que no hay un punto crítico que satisfaga las condiciones para maximizar el beneficio con estos parámetros. Podría ser necesario ajustar el modelo o los parámetros para obtener una solución más realista. 

Si necesitas más ayuda para ajustar el modelo o entender la interpretación, déjame saber.

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se podrían ajustar los coeficientes para obtener precios positivos?
2. ¿Qué significaría en el contexto de este problema un punto crítico con precios negativos?
3. ¿Hay restricciones adicionales que deberían considerarse para el problema?
4. ¿Cómo se comporta el beneficio cuando los precios son cercanos a cero?
5. ¿Qué sucede si se cambia el costo por libra de café en el modelo?

### Tip
Siempre verifica la viabilidad de los resultados en el contexto real del problema, especialmente cuando trabajas con precios o cantidades.

Learn how to find the critical point for the partial derivative ∂B/∂p = -70p^2 + 130q + 30 using partial derivatives and a system of equations. This problem involves advanced mathematical concepts and is suitable for advanced learners.

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