Даны два вектора а=(8,4,1), б=(2,-2,1). Найти вектор с, компланарный векторам а и б, перпендикулярный к вектору а, равный ему по длине и образующий с вектором б тупой угол

Нам необходимо найти вектор \( \mathbf{c} \), который компланарен векторам \( \mathbf{a} = (8, 4, 1) \) и \( \mathbf{b} = (2, -2, 1) \), перпендикулярен вектору \( \mathbf{a} \), равен ему по длине и образует с вектором \( \mathbf{b} \) тупой угол.

План решения:
1. Используя условия компланарности и перпендикулярности, найдем вектор \( \mathbf{c} \).
2. Убедимся, что вектор \( \mathbf{c} \) равен по длине вектору \( \mathbf{a} \).
3. Проверим, что угол между векторами \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \) является тупым.

### 1. Найдем вектор \( \mathbf{c} \) из условий перпендикулярности и компланарности
Пусть \( \mathbf{c} = \lambda \mathbf{b} + \mu \mathbf{a} \), так как он компланарен векторам \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), где \( \lambda \) и \( \mu \) — неизвестные коэффициенты.

Из условия перпендикулярности \( \mathbf{c} \perp \mathbf{a} \), скалярное произведение должно быть равно нулю:
\[
\mathbf{c} \cdot \mathbf{a} = 0.
\]
Подставим \( \mathbf{c} = \lambda \mathbf{b} + \mu \mathbf{a} \) в это уравнение:
\[
(\lambda \mathbf{b} + \mu \mathbf{a}) \cdot \mathbf{a} = 0.
\]
Раскроем скалярное произведение:
\[
\lambda (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) + \mu (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) = 0.
\]
Вычислим скалярные произведения:
\[
\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = 8 \cdot 2 + 4 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = 16 - 8 + 1 = 9,
\]
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 8^2 + 4^2 + 1^2 = 64 + 16 + 1 = 81.
\]
Подставим это в уравнение:
\[
\lambda \cdot 9 + \mu \cdot 81 = 0.
\]
Получаем линейное уравнение:
\[
9 \lambda + 81 \mu = 0,
\]
или
\[
\lambda = -9 \mu.
\]

### 2. Условие равенства длин
Длина вектора \( \mathbf{a} \) равна:
\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{81} = 9.
\]
Вектор \( \mathbf{c} = \lambda \mathbf{b} + \mu \mathbf{a} \), и его длина должна быть также равна 9:
\[
|\mathbf{c}| = 9.
\]
Подставим \( \lambda = -9 \mu \) и выразим длину вектора \( \mathbf{c} \):
\[
|\mathbf{c}| = \sqrt{(\lambda \mathbf{b} + \mu \mathbf{a}) \cdot (\lambda \mathbf{b} + \mu \mathbf{a})} = \sqrt{\lambda^2 |\mathbf{b}|^2 + 2 \lambda \mu (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) + \mu^2 |\mathbf{a}|^2}.
\]
Вычислим длину вектора \( \mathbf{b} \):
\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3.
\]
Теперь подставим это и значения скалярных произведений:
\[
|\mathbf{c}| = \sqrt{(-9 \mu)^2 \cdot 9 + 2(-9 \mu)\mu \cdot 9 + \mu^2 \cdot 81}.
\]
Приведем выражение к более простому виду:
\[
|\mathbf{c}| = \sqrt{81 \mu^2 \cdot 9 - 162 \mu^2 \cdot 9 + 81 \mu^2}.
\]
Соберем подобные слагаемые:
\[
|\mathbf{c}| = \sqrt{(81 \mu^2)(9 - 18 + 1)} = \sqrt{(81 \mu^2)(-8)}.
\]
Рассчитаем:
\[
|\mathbf{c}| = \sqrt{-648 \mu^2}.
\]
Так как модуль длины не может быть отрицательным, очевидно, что ошибка произошла на этапе преобразования, требующего проверки

Solve a vector problem involving two vectors a=(8,4,1) and b=(2,-2,1). Learn how to find vector c, which is coplanar with vectors a and b, perpendicular to a, equal in length to a, and forms an obtuse angle with b. This problem explores scalar products, vector lengths, and orthogonality.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation