dada la funcion implicita ax^2+y^3=bxy+1, calcule el valor de la derivada dy/dx cuando la ordenada es igual a 1 y la abcisa es diferente de cero.Considere el valor de a=4 y b=21

Para resolver este problema, primero vamos a derivar la función implícita \( ax^2 + y^3 = bxy + 1 \) con respecto a \( x \), y luego sustituiremos los valores específicos para encontrar la derivada \( \frac{dy}{dx} \) cuando \( y = 1 \), \( a = 4 \), y \( b = 21 \).

### Paso 1: Derivación implícita
Dada la ecuación:
\[
ax^2 + y^3 = bxy + 1
\]
Derivamos ambos lados con respecto a \( x \), recordando que \( y \) es una función de \( x \) (por lo tanto, aplicamos la regla de la cadena).

1. La derivada de \( ax^2 \) con respecto a \( x \):
\[
\frac{d}{dx}(ax^2) = 2ax
\]

2. La derivada de \( y^3 \) con respecto a \( x \) (aplicando la regla de la cadena):
\[
\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \frac{dy}{dx}
\]

3. La derivada de \( bxy \) con respecto a \( x \) (usando la regla del producto):
\[
\frac{d}{dx}(bxy) = b\left(\frac{d}{dx}(xy)\right) = b\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = by + bx\frac{dy}{dx}
\]

4. La derivada de \( 1 \) con respecto a \( x \) es simplemente 0.

Ahora combinamos todas estas derivadas:

\[
2ax + 3y^2 \frac{dy}{dx} = by + bx \frac{dy}{dx}
\]

### Paso 2: Despejar \( \frac{dy}{dx} \)
Agrupamos los términos que contienen \( \frac{dy}{dx} \) en un lado de la ecuación:

\[
3y^2 \frac{dy}{dx} - bx \frac{dy}{dx} = by - 2ax
\]

Factorizamos \( \frac{dy}{dx} \):

\[
\frac{dy}{dx}(3y^2 - bx) = by - 2ax
\]

Finalmente, despejamos \( \frac{dy}{dx} \):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{by - 2ax}{3y^2 - bx}
\]

### Paso 3: Sustitución de valores
Sustituimos \( a = 4 \), \( b = 21 \), \( y = 1 \) y \( x \) (lo dejaremos como \( x \) ya que no se especificó un valor particular):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{21(1) - 2(4)x}{3(1)^2 - 21x}
\]
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{21 - 8x}{3 - 21x}
\]

Este es el valor de la derivada \( \frac{dy}{dx} \) para cualquier \( x \) cuando \( y = 1 \), con los valores dados de \( a \) y \( b \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplicaría la regla de la cadena si la función \( y \) fuera explícita en lugar de implícita?
2. ¿Qué pasaría si cambiamos los valores de \( a \) y \( b \) en la ecuación original?
3. ¿Cómo influye el signo del denominador en la estabilidad de la solución para \( \frac{dy}{dx} \)?
4. ¿Qué técnicas se pueden usar para resolver ecuaciones diferenciales implícitas más complejas?
5. ¿Cómo se puede verificar si la solución obtenida para \( \frac{dy}{dx} \) es correcta?

**Tip:** Siempre verifica si el denominador en una ecuación de derivada implícita se puede anular en algún punto; eso podría indicar la existencia de una vertical o algún otro comportamiento singular en la curva.

Learn how to calculate the derivative dy/dx for the implicit function ax^2 + y^3 = bxy + 1. This problem involves using implicit differentiation and applying specific values for a, b, x, and y. Suitable for advanced high school and college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation