Considero el desarrollo de x²(3x²+k/x)⁸. El término constante es 16128. Halle K

Para encontrar el valor de \( k \) en el desarrollo de la expresión \( x^2(3x^2 + \frac{k}{x})^8 \), dado que el término constante es 16128, seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Expansión de la expresión
Primero, consideremos la expansión del binomio \( (3x^2 + \frac{k}{x})^8 \) usando el binomio de Newton. Esto nos da:

\[
(3x^2 + \frac{k}{x})^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (3x^2)^{8-i} \left(\frac{k}{x}\right)^i
\]

Donde \( \binom{8}{i} \) es el coeficiente binomial.

### Paso 2: Multiplicación por \( x^2 \)
Ahora, multiplicamos el resultado por \( x^2 \):

\[
x^2 \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (3x^2)^{8-i} \left(\frac{k}{x}\right)^i = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} 3^{8-i} k^i x^{2(8-i)-i + 2}
\]

### Paso 3: Término constante
Queremos encontrar el término donde la potencia de \( x \) es cero, ya que esto representa el término constante. El exponente de \( x \) es:

\[
2(8-i) - i + 2 = 16 - 2i - i + 2 = 18 - 3i
\]

Para que el exponente sea cero:

\[
18 - 3i = 0
\]

Resolviendo para \( i \):

\[
i = \frac{18}{3} = 6
\]

### Paso 4: Cálculo del término constante
El término constante corresponde a \( i = 6 \). Sustituyendo \( i = 6 \) en la expresión del término general, obtenemos:

\[
\binom{8}{6} \cdot 3^{8-6} \cdot k^6 \cdot x^0
\]

Como \( x^0 = 1 \), el término constante es:

\[
\binom{8}{6} \cdot 3^2 \cdot k^6
\]

Calculamos cada parte:

\[
\binom{8}{6} = \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28
\]
\[
3^2 = 9
\]

Entonces, el término constante es:

\[
28 \cdot 9 \cdot k^6 = 252k^6
\]

Dado que el término constante es igual a 16128:

\[
252k^6 = 16128
\]

### Paso 5: Solución para \( k \)
Resolvemos la ecuación para \( k \):

\[
k^6 = \frac{16128}{252} = 64
\]

Por lo tanto:

\[
k = \sqrt[6]{64} = 2
\]

### Respuesta:
El valor de \( k \) es \( \boxed{2} \).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se deriva el binomio de Newton?
2. ¿Qué son los coeficientes binomiales y cómo se calculan?
3. ¿Cómo se determina el término general en una expansión binomial?
4. ¿Qué sucede si \( k \) tiene valores negativos?
5. ¿Cómo afecta un cambio en \( k \) al valor del término constante?

**Tip:** Cuando trabajes con potencias fraccionarias, recuerda verificar si los resultados pueden ser negativos o si hay más de una solución posible.

Discover how to find the value of k in the expression x^2(3x^2 + k/x)^8, given the constant term is 16128. Follow a detailed step-by-step solution involving the binomial theorem and coefficient binomial calculation. Suitable for advanced high school students and beyond.

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