halla el vector normal principal de la siguiente funcion en el punto dado
t i mas t cuadrado j mas logaritmo natural de t k en t igual a 1


Para encontrar el vector normal principal de la función vectorial \(\mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} + \ln(t)\mathbf{k}\) en el punto \(t = 1\), seguiremos estos pasos:

1. **Calcular la derivada de \(\mathbf{r}(t)\):**
   \[
   \mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt} \left( t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} + \ln(t)\mathbf{k} \right)
   \]
   Derivando cada componente:
   \[
   \mathbf{r}'(t) = \mathbf{i} + 2t\mathbf{j} + \frac{1}{t}\mathbf{k}
   \]

2. **Evaluar la derivada en \(t = 1\):**
   \[
   \mathbf{r}'(1) = \mathbf{i} + 2(1)\mathbf{j} + \frac{1}{1}\mathbf{k} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}
   \]

3. **Calcular la segunda derivada de \(\mathbf{r}(t)\):**
   \[
   \mathbf{r}''(t) = \frac{d}{dt} \left( \mathbf{i} + 2t\mathbf{j} + \frac{1}{t}\mathbf{k} \right)
   \]
   Derivando cada componente:
   \[
   \mathbf{r}''(t) = 0\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \frac{1}{t^2}\mathbf{k}
   \]

4. **Evaluar la segunda derivada en \(t = 1\):**
   \[
   \mathbf{r}''(1) = 2\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = 2\mathbf{j} - \mathbf{k}
   \]

5. **Calcular el vector normal principal \(\mathbf{N}(t)\):**
   El vector normal principal se calcula como:
   \[
   \mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{r}''(t)}{|\mathbf{r}''(t)|}
   \]
   Primero, encontramos la magnitud de \(\mathbf{r}''(1)\):
   \[
   |\mathbf{r}''(1)| = \sqrt{(0)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
   \]
   Entonces, el vector normal principal en \(t = 1\) es:
   \[
   \mathbf{N}(1) = \frac{1}{\sqrt{5}}(0\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}) = \frac{2}{\sqrt{5}}\mathbf{j} - \frac{1}{\sqrt{5}}\mathbf{k}
   \]

Por lo tanto, el vector normal principal de la función en \(t = 1\) es:
\[
\mathbf{N}(1) = \frac{2}{\sqrt{5}}\mathbf{j} - \frac{1}{\sqrt{5}}\mathbf{k}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la curvatura de una curva en un punto específico?
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3. ¿Cuál es la relación entre el vector tangente y el vector normal principal?
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**Tip:** Al trabajar con funciones vectoriales, es útil recordar que el vector normal principal siempre es perpendicular al vector tangente en el mismo punto.

Learn how to find the principal normal vector of the vector function r(t) = ti + t^2j + ln(t)k at t = 1. This problem involves vector calculus and derivatives, specifically calculating the derivative and second derivative of the vector function. Suitable for college-level students.

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