Hallar el punto de abscisa 3 que está a 13 unidades de distancia del punto (8,4).

Para encontrar el punto cuya abscisa es 3 y que está a 13 unidades de distancia del punto \((8,4)\), vamos a usar la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. La fórmula es:

\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

Donde:
- \(d\) es la distancia entre los puntos,
- \( (x_1, y_1) = (8, 4) \) es el punto dado,
- \( (x_2, y_2) = (3, y) \) es el punto desconocido, con \(x_2 = 3\).

Sabemos que la distancia es 13 unidades, por lo que sustituimos en la fórmula:

\[
13 = \sqrt{(3 - 8)^2 + (y - 4)^2}
\]

Simplificamos:

\[
13 = \sqrt{(-5)^2 + (y - 4)^2}
\]
\[
13 = \sqrt{25 + (y - 4)^2}
\]

Ahora, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

\[
169 = 25 + (y - 4)^2
\]

Restamos 25 de ambos lados:

\[
144 = (y - 4)^2
\]

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

\[
y - 4 = \pm 12
\]

De aquí obtenemos dos soluciones:

\[
y - 4 = 12 \quad \text{o} \quad y - 4 = -12
\]

Resolvemos ambas ecuaciones:

1. \( y = 12 + 4 = 16 \)
2. \( y = -12 + 4 = -8 \)

Por lo tanto, los puntos que están a 13 unidades de distancia del punto \((8, 4)\) y tienen abscisa 3 son \((3, 16)\) y \((3, -8)\).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para ampliar este concepto:
1. ¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos con coordenadas en el espacio tridimensional?
2. ¿Cómo determinar un punto equidistante a dos puntos dados?
3. ¿Qué ocurre si la distancia es mayor que la posible entre dos puntos dados en un plano?
4. ¿Cómo se resuelve un problema similar si una de las coordenadas es desconocida en lugar de la abscisa?
5. ¿Qué tipo de ecuación describe el lugar geométrico de todos los puntos a una distancia fija de un punto dado?

**Tip:** Para determinar distancias en el plano cartesiano, siempre es útil revisar primero si puedes simplificar las diferencias entre las coordenadas para evitar errores.

Learn how to find the point with abscissa 3 that is 13 units away from the point (8, 4) using the distance formula in coordinate geometry. This solution involves applying the Pythagorean theorem to solve for unknown coordinates. Suitable for students in Grades 9-11.

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