si f(x)=(2x-1)/(2x+1), determina f(x+h)-f(x)

Dada la función \( f(x) = \frac{2x - 1}{2x + 1} \), queremos encontrar la expresión para \( f(x+h) - f(x) \).

### Paso 1: Calcular \( f(x+h) \)
Sustituimos \( x+h \) en la función original:

\[
f(x+h) = \frac{2(x+h) - 1}{2(x+h) + 1} = \frac{2x + 2h - 1}{2x + 2h + 1}
\]

### Paso 2: Encontrar \( f(x+h) - f(x) \)
Restamos \( f(x) \) de \( f(x+h) \):

\[
f(x+h) - f(x) = \frac{2x + 2h - 1}{2x + 2h + 1} - \frac{2x - 1}{2x + 1}
\]

### Paso 3: Simplificar la resta de fracciones
Restar fracciones implica encontrar el denominador común, que será \( (2x + 2h + 1)(2x + 1) \). La expresión completa será:

\[
f(x+h) - f(x) = \frac{(2x + 2h - 1)(2x + 1) - (2x - 1)(2x + 2h + 1)}{(2x + 2h + 1)(2x + 1)}
\]

Ahora expandimos los numeradores:

\[
(2x + 2h - 1)(2x + 1) = 4x^2 + 2x + 4xh + 2h - 2x - 1 = 4x^2 + 4xh + 2h - 1
\]

\[
(2x - 1)(2x + 2h + 1) = 4x^2 + 4xh + 2x - 2x - 2h - 1 = 4x^2 + 4xh - 2h - 1
\]

Restamos ambos términos del numerador:

\[
(4x^2 + 4xh + 2h - 1) - (4x^2 + 4xh - 2h - 1) = 4h
\]

Por lo tanto, la diferencia es:

\[
f(x+h) - f(x) = \frac{4h}{(2x + 2h + 1)(2x + 1)}
\]

Esta es la expresión simplificada para \( f(x+h) - f(x) \).

¿Te gustaría ver más detalles sobre los pasos o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se simplifican fracciones complejas como en este caso?
2. ¿Qué sucede si tomamos el límite cuando \( h \to 0 \)?
3. ¿Cómo se puede usar este resultado para calcular una derivada?
4. ¿Cuál es la diferencia entre derivadas y diferencias finitas?
5. ¿Cómo afecta el valor de \( h \) a la expresión final?

### Tip:
Al trabajar con diferencias finitas, asegúrate de simplificar correctamente los numeradores y denominadores antes de intentar resolver el problema.

Explore how to calculate the finite difference f(x+h) - f(x) for the function f(x) = (2x-1)/(2x+1). This step-by-step solution covers simplifying rational expressions and key algebraic concepts, suitable for high school students in Grades 10-12.

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