Encuentra los puntos críticos de la función f(x,y)=X²+y²-6x+16y

Para encontrar los puntos críticos de la función \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 6x + 16y \), seguimos los mismos pasos que antes:

1. **Encontrar las derivadas parciales de la función**.
2. **Igualar las derivadas parciales a cero para obtener el sistema de ecuaciones**.
3. **Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los puntos críticos**.

### Paso 1: Derivadas parciales

Calculamos las derivadas parciales de \( f \) con respecto a \( x \) y \( y \).

\[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 6 \]
\[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 16 \]

### Paso 2: Igualar a cero

Igualamos las derivadas parciales a cero para encontrar los puntos críticos.

\[ 2x - 6 = 0 \quad \text{(1)} \]
\[ 2y + 16 = 0 \quad \text{(2)} \]

### Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones

Resolvemos el sistema de ecuaciones simultáneas:

De la ecuación (1):

\[ 2x - 6 = 0 \]
\[ 2x = 6 \]
\[ x = 3 \]

De la ecuación (2):

\[ 2y + 16 = 0 \]
\[ 2y = -16 \]
\[ y = -8 \]

Por lo tanto, el único punto crítico es:

\[ (3, -8) \]

### Resumen

El punto crítico de la función \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 6x + 16y \) es \( (3, -8) \).

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

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#### Preguntas sugeridas:
1. ¿Cómo se determina si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de silla?
2. ¿Qué es la matriz Hessiana y cómo se utiliza en el análisis de puntos críticos?
3. ¿Cómo se interpretan las derivadas parciales en el contexto de funciones de varias variables?
4. ¿Cuáles son los pasos para encontrar puntos críticos en funciones más complejas?
5. ¿Qué métodos existen para resolver sistemas de ecuaciones no lineales?

#### Consejo:
Para funciones de varias variables, siempre verifica los puntos críticos utilizando la matriz Hessiana, ya que te permitirá clasificar la naturaleza de esos puntos (máximos, mínimos o puntos de silla).

Discover how to find critical points of the function f(x, y) = x^2 + y^2 - 6x + 16y through step-by-step solutions. This problem involves partial derivatives, system of equations solving, and is suitable for university-level mathematics.

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