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encuentra los valores de a y b para que el vector u=(a,b,2,1) pertenezca al al espacio nulo de la siguiente matriz

Para que el vector \( u = (a, b, 2, 1) \) pertenezca al espacio nulo de la matriz, debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones resultante de multiplicar la matriz por el vector \( u \) y establecer que el resultado sea el vector cero.

La matriz en la imagen es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & -1 \\
3 & 0 & 2 & -1
\end{pmatrix}
\]

Y el vector \( u = (a, b, 2, 1) \).

El producto de la matriz con el vector \( u \) nos da:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & -1 \\
3 & 0 & 2 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
2 \\
1
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]

Multiplicamos cada fila de la matriz por el vector:

1. \( 1(a) + 0(b) + 1(2) + (-1)(1) = 0 \)
2. \( -1(a) + 0(b) + 0(2) + (-1)(1) = 0 \)
3. \( 3(a) + 0(b) + 2(2) + (-1)(1) = 0 \)

Ahora resolvemos este sistema de ecuaciones para \( a \) y \( b \).

### Ecuaciones:
1. \( a + 2 - 1 = 0 \Rightarrow a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1 \)
2. \( -a - 1 = 0 \Rightarrow -(-1) - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 1 = 0 \) (se satisface esta ecuación)
3. \( 3a + 4 - 1 = 0 \Rightarrow 3(-1) + 4 - 1 = 0 \Rightarrow -3 + 4 - 1 = 0 \Rightarrow 0 = 0 \) (se satisface esta ecuación)

El valor de \( a = -1 \), y no hay ninguna restricción en \( b \), por lo que \( b \) puede tomar cualquier valor.

### Solución:
- \( a = -1 \)
- \( b \) puede ser cualquier número real.

¿Te gustaría una explicación más detallada o resolver otro problema?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se define el espacio nulo de una matriz?
2. ¿Qué representa geométricamente el espacio nulo de una matriz?
3. ¿Cómo se resuelve un sistema homogéneo en términos de sus soluciones?
4. ¿Qué importancia tiene la dimensión del espacio nulo en el álgebra lineal?
5. ¿Cómo afectan las entradas de un vector al pertenecer al espacio nulo?

### Tip:
El espacio nulo de una matriz está formado por todos los vectores que, al multiplicarse por la matriz, resultan en el vector cero.

Encuentra los valores de a y b para que el vector u=(a,b,2,1) pertenezca al espacio nulo de la siguiente matriz

Solve for a and b so that the vector u=(a,b,2,1) belongs to the null space of the matrix. This involves solving a system of linear equations derived from matrix-vector multiplication.

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