Usando la base estándar, encuentre la matriz P de 4x4 que representa una permutación cíclica de x = (x1, x2, x3, x4) a T(x) = (x4, x1, x2, x3)

Para representar la transformación \( T(x) = (x_4, x_1, x_2, x_3) \) como una matriz de permutación en la base estándar, necesitamos encontrar una matriz \( P \) de \( 4 \times 4 \) tal que:

\[
P \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_4 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}
\]

Cada fila de la matriz \( P \) indica cómo se transforma cada componente del vector \( x \).

1. La primera fila de \( P \) debe ser \((0, 0, 0, 1)\) porque \( x_1 \) se convierte en \( x_4 \).
2. La segunda fila de \( P \) debe ser \((1, 0, 0, 0)\) porque \( x_2 \) se convierte en \( x_1 \).
3. La tercera fila de \( P \) debe ser \((0, 1, 0, 0)\) porque \( x_3 \) se convierte en \( x_2 \).
4. La cuarta fila de \( P \) debe ser \((0, 0, 1, 0)\) porque \( x_4 \) se convierte en \( x_3 \).

Por lo tanto, la matriz \( P \) es:

\[
P = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]

Esta es la matriz de permutación cíclica que representa la transformación \( T(x) = (x_4, x_1, x_2, x_3) \).

¿Hay algún aspecto de este proceso que te gustaría explorar más a fondo o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se interpreta geométricamente una matriz de permutación?
2. ¿Cómo se generaliza esta permutación cíclica a \( n \) dimensiones?
3. ¿Qué sucede si aplicamos la permutación varias veces consecutivamente?
4. ¿Cómo se encuentra la inversa de una matriz de permutación?
5. ¿Cómo se representa una permutación no cíclica con una matriz? 

**Tip:** Las matrices de permutación son ortogonales, lo que significa que su inversa es igual a su transpuesta.

Discover how to find the 4x4 permutation matrix P representing the cyclical transformation T(x) = (x4, x1, x2, x3). This problem involves matrix algebra and permutation matrices, suitable for advanced high school students and beyond.

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