Se resuelve empleando subespacios vecoriales generadores.

¡Perfecto! Vamos a abordar este problema usando el concepto de **subespacios vectoriales generadores**, que es una forma más rigurosa y formal de tratar este tipo de problemas.

### Problema:
Nos piden determinar los **vectores** que generan el subespacio de las matrices simétricas \( 2 \times 2 \).

### Paso 1: Definir el espacio de matrices \( 2 \times 2 \)

El espacio de todas las matrices \( 2 \times 2 \), denotado como \( \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \), tiene dimensión 4 porque está formado por todas las matrices de la forma:

\[
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}, \quad \text{donde } a, b, c, d \in \mathbb{R}.
\]

Es decir, podemos tomar una base para este espacio como las matrices:

\[
\mathbf{E_1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{E_2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{E_3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{E_4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]

Esto cubre todas las posibles combinaciones de \( a, b, c, d \).

### Paso 2: Definir el subespacio de matrices simétricas

Una matriz simétrica cumple \( A = A^t \), es decir, es igual a su transpuesta. Si una matriz \( 2 \times 2 \) es simétrica, entonces tiene la forma:

\[
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & d
\end{pmatrix}
\]
donde \( a, b, d \in \mathbb{R} \) y el elemento \( A_{12} = A_{21} \).

### Paso 3: Determinar los generadores del subespacio de matrices simétricas

Ahora, necesitamos encontrar las **matrices base** que generan este subespacio vectorial. Para esto, descomponemos la matriz simétrica general en componentes que dependen de \( a \), \( b \), y \( d \):

1. **Componente correspondiente al valor \( a \) (entrada en \( A_{11} \)):**
   \[
   \mathbf{S_1} = \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 0
   \end{pmatrix}
   \]
   Esta matriz tiene un 1 en la posición \( (1,1) \) y ceros en las demás posiciones, generando la parte diagonal de la matriz.

2. **Componente correspondiente al valor \( b \) (entradas en \( A_{12} \) y \( A_{21} \)):**
   \[
   \mathbf{S_2} = \begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
   \end{pmatrix}
   \]
   Esta matriz tiene 1 en las posiciones \( (1,2) \) y \( (2,1) \), lo que refleja la simetría en la parte fuera de la diagonal.

3. **Componente correspondiente al valor \( d \) (entrada en \( A_{22} \)):**
   \[
   \mathbf{S_3} = \begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 1
   \end{pmatrix}
   \]
   Esta matriz tiene un 1 en la posición \( (2,2) \), representando la entrada diagonal inferior.

### Paso 4: Verificar que estas matrices generan el subespacio

Cualquier matriz simétrica \( 2 \times 2 \) puede escribirse como una **combinación lineal** de las tres matrices \( \mathbf{S_1}, \mathbf{S_2}, \mathbf{S_3} \). Es decir, para cualquier matriz simétrica:

\[
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & d
\end{pmatrix}
= a \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
+ b \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
+ d \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]

###

Learn how to solve matrix problems using the concept of generating vector spaces. This solution explains the decomposition of 2x2 symmetric matrices into base components and covers key linear algebra concepts such as vector spaces and matrix symmetries. Suitable for undergraduate students.

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