suma o diferencia de cubos perfectos:  1)   x³y⁶ - 216y⁹
2)   x⁶ - 8y¹²
3)   64a³ - 729
4)    (a+b)³ + 1
5)    8 - (x - y)³                         

Vamos a resolver cada una de las expresiones como sumas o diferencias de cubos perfectos:

### 1) \( x^3y^6 - 216y^9 \)
Reconocemos que ambos términos son cubos perfectos:
- \( x^3y^6 = (xy^2)^3 \)
- \( 216y^9 = (6y^3)^3 \)

Entonces, la expresión se puede factorizar como una diferencia de cubos:
\[
x^3y^6 - 216y^9 = (xy^2 - 6y^3)\left((xy^2)^2 + xy^2(6y^3) + (6y^3)^2\right)
\]
Simplificando el segundo factor:
\[
= (xy^2 - 6y^3)(x^2y^4 + 6xy^5 + 36y^6)
\]

### 2) \( x^6 - 8y^{12} \)
Reconocemos que ambos términos son cubos perfectos:
- \( x^6 = (x^2)^3 \)
- \( 8y^{12} = (2y^4)^3 \)

Entonces, la expresión se puede factorizar como una diferencia de cubos:
\[
x^6 - 8y^{12} = (x^2 - 2y^4)\left((x^2)^2 + x^2(2y^4) + (2y^4)^2\right)
\]
Simplificando el segundo factor:
\[
= (x^2 - 2y^4)(x^4 + 2x^2y^4 + 4y^8)
\]

### 3) \( 64a^3 - 729 \)
Reconocemos que ambos términos son cubos perfectos:
- \( 64a^3 = (4a)^3 \)
- \( 729 = 9^3 \)

Entonces, la expresión se puede factorizar como una diferencia de cubos:
\[
64a^3 - 729 = (4a - 9)\left((4a)^2 + 4a(9) + 9^2\right)
\]
Simplificando el segundo factor:
\[
= (4a - 9)(16a^2 + 36a + 81)
\]

### 4) \( (a + b)^3 + 1 \)
Reconocemos que ambos términos son cubos perfectos:
- \( (a + b)^3 = (a + b)^3 \)
- \( 1 = 1^3 \)

Entonces, la expresión se puede factorizar como una suma de cubos:
\[
(a + b)^3 + 1 = \left((a + b) + 1\right)\left((a + b)^2 - (a + b)(1) + 1^2\right)
\]
Simplificando el segundo factor:
\[
= (a + b + 1)(a^2 + 2ab + b^2 - a - b + 1)
\]

### 5) \( 8 - (x - y)^3 \)
Reconocemos que ambos términos son cubos perfectos:
- \( 8 = 2^3 \)
- \( (x - y)^3 = (x - y)^3 \)

Entonces, la expresión se puede factorizar como una diferencia de cubos:
\[
8 - (x - y)^3 = \left(2 - (x - y)\right)\left(2^2 + 2(x - y) + (x - y)^2\right)
\]
Simplificando el segundo factor:
\[
= (2 - x + y)(4 + 2x - 2y + x^2 - 2xy + y^2)
\]

¿Te gustaría obtener más detalles o tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Qué diferencia hay entre la factorización de una suma y una diferencia de cubos?
2. ¿Cómo se puede reconocer si un término es un cubo perfecto?
3. ¿Cómo se puede simplificar el segundo factor en las factorizaciones de cubos?
4. ¿Qué sucede si la expresión inicial no es una suma o diferencia de cubos perfectos?
5. ¿Cómo influye el signo en la factorización de una suma o diferencia de cubos?

**Tip:** Al factorizar sumas o diferencias de cubos, recuerda siempre revisar si ambos términos son cubos perfectos antes de aplicar la factorización.

Explore factorization of cubic polynomials with detailed examples like x^3y^6 - 216y^9 and 8 - (x - y)^3. Learn the sum and difference of cubes formulas and how to apply them. Suitable for high school students studying algebra and polynomial factorization.

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