Se expandir o numerador para 20s^2 + 140s + 230 e o denominador se manter (s+3)(s+2) como fica a resolução?

Se o numerador for expandido para \(20s^2 + 140s + 230\) e o denominador continuar sendo \((s + 3)(s + 2)\), o processo de resolução se modifica ligeiramente. Vamos resolver passo a passo.

### Equação em Laplace
A equação em Laplace agora é:
\[
T(s) = \frac{20s^2 + 140s + 230}{(s + 3)(s + 2)}
\]

### Passo 1: Decomposição em Frações Parciais
Queremos decompor essa expressão em frações parciais. Como o denominador é o produto de dois fatores lineares distintos, a decomposição será da forma:
\[
T(s) = \frac{A}{s + 2} + \frac{B}{s + 3}
\]
onde \(A\) e \(B\) são constantes que precisamos determinar.

### Passo 2: Encontrando as Constantes \(A\) e \(B\)
Para encontrar \(A\) e \(B\), escrevemos:
\[
\frac{20s^2 + 140s + 230}{(s + 3)(s + 2)} = \frac{A}{s + 2} + \frac{B}{s + 3}
\]

Multiplicando ambos os lados por \((s + 3)(s + 2)\) para eliminar o denominador:
\[
20s^2 + 140s + 230 = A(s + 3) + B(s + 2)
\]

Expandindo e agrupando termos:
\[
20s^2 + 140s + 230 = As + 3A + Bs + 2B
\]
\[
20s^2 + 140s + 230 = (A + B)s + (3A + 2B)
\]

Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes para obter um sistema de equações:

1. Para os termos com \(s^2\):
   \[
   20s^2 \quad (só existe no numerador, então \(A + B = 0\))
   \]

2. Para os termos com \(s\):
   \[
   140s = (A + B)s
   \]
   Como \(A + B = 0\), este termo nos diz que \(B = -A\).

3. Para os termos constantes:
   \[
   230 = 3A + 2B
   \]
   Substituindo \(B = -A\):
   \[
   230 = 3A + 2(-A) = A
   \]
   Então, \(A = 230\) e \(B = -230\).

### Passo 3: Substituição dos Valores de \(A\) e \(B\)
Substituindo os valores encontrados na decomposição:
\[
T(s) = \frac{230}{s + 2} - \frac{230}{s + 3}
\]

### Passo 4: Aplicando a Transformada Inversa de Laplace
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar \(T(t)\):

1. \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{230}{s + 2}\right\} = 230e^{-2t}\)
2. \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{230}{s + 3}\right\} = 230e^{-3t}\)

Portanto, a solução para \(T(t)\) é:
\[
T(t) = 230e^{-2t} - 230e^{-3t}
\]

### Resumo
A expressão para a temperatura \(T(t)\) ao longo do tempo, com o numerador expandido, é:
\[
T(t) = 230e^{-2t} - 230e^{-3t}
\]

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

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Aqui estão cinco perguntas relacionadas para expandir o entendimento:

1. Como a expansão do numerador impacta a resposta final?
2. Qual é o significado físico das constantes \(230\) e \(-230\) na solução?
3. Como a presença dos termos exponenciais afeta o comportamento do sistema ao longo do tempo?
4. Como a solução se comportaria para diferentes valores das condições iniciais?
5. Quais técnicas alternativas podem ser usadas para resolver essa equação diferencial?

**Dica:** A decomposição em frações parciais é uma ferramenta poderosa para simplificar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace, especialmente em sistemas com múltiplas raízes no denominador.

Explore how expanding the numerator to 20s^2 + 140s + 230 and keeping the denominator as (s+3)(s+2) alters the solution process. Learn about fractional decomposition, Laplace transform, and their application in solving differential equations. Suitable for advanced mathematics enthusiasts.

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