Vamos resolver a decomposição em frações parciais da expressão:

\[
I(s) = \frac{10}{(s^2 + 4)(s^2 + 2s + 1)}
\]

Queremos expressar \(I(s)\) da seguinte forma:

\[
I(s) = \frac{A s + B}{s^2 + 4} + \frac{C s + D}{s^2 + 2s + 1}
\]

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum \((s^2 + 4)(s^2 + 2s + 1)\), obtemos:

\[
10 = (A s + B)(s^2 + 2s + 1) + (C s + D)(s^2 + 4)
\]

Agora, expandimos ambos os termos à direita:

\[
10 = A s^3 + 2 A s^2 + A s + B s^2 + 2 B s + B + C s^3 + 4 C s + D s^2 + 4 D
\]

Agrupando os termos semelhantes:

\[
10 = (A + C) s^3 + (2A + B + D) s^2 + (A + 2B + 4C) s + (B + 4D)
\]

Como não há termos em \(s^3\), \(s^2\), \(s\) ou termos constantes do lado esquerdo, podemos igualar os coeficientes dessas potências a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

1. \(A + C = 0\)  (coeficiente de \(s^3\))
2. \(2A + B + D = 0\)  (coeficiente de \(s^2\))
3. \(A + 2B + 4C = 0\)  (coeficiente de \(s\))
4. \(B + 4D = 10\)  (termo constante)

### Resolvendo o sistema de equações

1. Da equação \(A + C = 0\), temos \(C = -A\).
2. Substituindo \(C = -A\) na equação \(2A + B + D = 0\):

\[
2A + B + D = 0
\]

3. Na equação \(A + 2B + 4C = 0\), substituímos \(C = -A\):

\[
A + 2B - 4A = 0 \quad \Rightarrow \quad -3A + 2B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = \frac{3A}{2}
\]

4. Substituindo \(B = \frac{3A}{2}\) e \(C = -A\) na equação \(B + 4D = 10\):

\[
\frac{3A}{2} + 4D = 10 \quad \Rightarrow \quad 4D = 10 - \frac{3A}{2} \quad \Rightarrow \quad D = \frac{10 - \frac{3A}{2}}{4} = \frac{20 - 3A}{8}
\]

### Determinando \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\)

Substituímos \(D\) em termos de \(A\) na equação \(2A + B + D = 0\):

\[
2A + \frac{3A}{2} + \frac{20 - 3A}{8} = 0
\]

Multiplicando toda a equação por 8 para eliminar as frações:

\[
16A + 12A + 20 - 3A = 0 \quad \Rightarrow \quad 25A = -20 \quad \Rightarrow \quad A = -\frac{4}{5}
\]

Agora, substituímos \(A = -\frac{4}{5}\) para encontrar \(C\), \(B\) e \(D\):

\[
C = -A = \frac{4}{5}
\]
\[
B = \frac{3A}{2} = \frac{3(-\frac{4}{5})}{2} = -\frac{6}{5}
\]
\[
D = \frac{20 - 3A}{8} = \frac{20 + \frac{12}{5}}{8} = \frac{100 + 12}{40} = \frac{112}{40} = \frac{14}{5}
\]

Portanto, a decomposição em frações parciais é:

\[
I(s) = \frac{-\frac{4}{5} s - \frac{6}{5}}{s^2 + 4} + \frac{\frac{4}{5} s + \frac{14}{5}}{s^2 + 2s + 1}
\]

Simplificando:

\[
I(s) = \frac{-4s - 6}{5(s^2 + 4)} + \frac{4s + 14}{5(s^2 + 2s + 1)}
\]

### Próximo passo: Aplicar a Transformada Inversa de Laplace

Agora, podemos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo, resultando na solução para \(i(t)\).

Quer que eu continue com a Transformada Inversa de Laplace para encontrar \(i(t)\)?

### Perguntas Relacionadas:

1. O que acontece com a corrente \(i(t)\) quando o circuito atinge o regime permanente?
2. Como a impedância do circuito varia com a frequência da fonte \(E(t)\)?
3. De que forma a energia dissipada na resistência depende da corrente \(i(t)\)?
4. Como seria o comportamento do circuito se \(C\) fosse muito pequeno ou muito grande?
5. Como a fase da corrente \(i(t)\) se relaciona com a fase da tensão \(E(t)\)?

**Dica:** A Transformada Inversa de Laplace é uma técnica poderosa para converter funções no domínio de Laplace de volta para o domínio do tempo, permitindo a solução de equações diferenciais complexas.

Learn how to resolve the partial fractions decomposition of the expression 10 / ((s^2 + 4)(s^2 + 2s + 1)). This problem involves advanced concepts in partial fractions, including complex fractions and solving systems of equations. Suitable for advanced college-level mathematics.

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