Si θ está entre π y 2π, cos(θ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} y ϕ es un ángulo agudo positivo tal que cos (ϕ) = 7/25 , determine el valor exacto de cos(θ + ϕ).

Para resolver este problema, utilizaremos la **fórmula del coseno de la suma de dos ángulos**:

\[
\cos(\theta + \varphi) = \cos(\theta) \cos(\varphi) - \sin(\theta) \sin(\varphi)
\]

### Paso 1: Identificar los valores conocidos

- \(\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) (dado que \(\theta\) está en el tercer o cuarto cuadrante, donde el coseno es negativo).
- \(\cos(\varphi) = \frac{7}{25}\) (dado que \(\varphi\) es un ángulo agudo, \(\cos(\varphi)\) es positivo).

### Paso 2: Encontrar \(\sin(\theta)\) y \(\sin(\varphi)\)

Para encontrar \(\sin(\theta)\) y \(\sin(\varphi)\), utilizaremos la identidad trigonométrica fundamental:

\[
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
\]

**Para \(\theta\):**

\[
\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\]

\[
\sin(\theta) = -\frac{1}{2} \quad \text{(en el tercer o cuarto cuadrante, \(\sin(\theta)\) es negativo)}
\]

**Para \(\varphi\):**

\[
\sin^2(\varphi) = 1 - \cos^2(\varphi) = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}
\]

\[
\sin(\varphi) = \frac{24}{25} \quad \text{(dado que \(\varphi\) es agudo, \(\sin(\varphi)\) es positivo)}
\]

### Paso 3: Sustituir en la fórmula de la suma de ángulos

Ahora que tenemos todos los valores, sustituimos en la fórmula:

\[
\cos(\theta + \varphi) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{7}{25}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{24}{25}\right)
\]

Calculamos:

\[
\cos(\theta + \varphi) = -\frac{7\sqrt{3}}{50} + \frac{24}{50} = \frac{24 - 7\sqrt{3}}{50}
\]

### Respuesta final:
\[
\cos(\theta + \varphi) = \frac{24 - 7\sqrt{3}}{50}
\]

¿Tienes alguna pregunta sobre este proceso o te gustaría más detalles?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede simplificar la fórmula para \(\cos(\theta + \varphi)\) si \(\theta\) y \(\varphi\) son ángulos especiales?
2. ¿Qué sucede con \(\cos(\theta + \varphi)\) si ambos ángulos están en el primer cuadrante?
3. ¿Cómo cambiaría el signo de \(\sin(\theta)\) si \(\theta\) estuviera en el segundo cuadrante?
4. ¿Qué otras identidades trigonométricas se pueden usar para ángulos compuestos como \(\theta + \varphi\)?
5. ¿Cómo se determina si \(\sin(\theta)\) o \(\cos(\theta)\) son positivos o negativos en diferentes cuadrantes?

**Tip:** Recuerda que en el tercer y cuarto cuadrante, el coseno es negativo y el seno es negativo en el tercer cuadrante, pero positivo en el cuarto.

Discover the exact value of cos(θ + ϕ) using trigonometric identities and the sum of angles formula. Given that cos(θ) = -√3/2 and cos(ϕ) = 7/25 with ϕ as a positive acute angle, learn how to calculate cos(θ + ϕ) step-by-step. Suitable for advanced high school students and anyone interested in advanced trigonometry problems.

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