Encuentre el valor exacto de cos 15° usando el hecho que 15° = 60° - 45°.

Para encontrar el valor exacto de \(\cos 15^\circ\), usaremos la **fórmula de la diferencia de ángulos** para el coseno:

\[
\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B
\]

Sabemos que:

\[
15^\circ = 60^\circ - 45^\circ
\]

Aplicamos la fórmula con \(A = 60^\circ\) y \(B = 45^\circ\):

\[
\cos(15^\circ) = \cos(60^\circ) \cos(45^\circ) + \sin(60^\circ) \sin(45^\circ)
\]

Ahora, sustituimos los valores conocidos de los ángulos:

\[
\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Sustituimos estos valores en la fórmula:

\[
\cos(15^\circ) = \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\]

Multiplicamos los términos:

\[
\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}
\]

Como tienen el mismo denominador, sumamos los términos:

\[
\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}
\]

Por lo tanto, el valor exacto de \(\cos 15^\circ\) es:

\[
\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este resultado?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el valor exacto de \(\sin 15^\circ\) utilizando la fórmula de diferencia de ángulos?
2. ¿Cuál es la fórmula de suma de ángulos para el coseno?
3. ¿Cómo se derivan los valores de \(\sin 45^\circ\), \(\sin 60^\circ\), \(\cos 45^\circ\) y \(\cos 60^\circ\)?
4. ¿Cómo se encuentra el valor exacto de \(\tan 15^\circ\)?
5. ¿Qué otras identidades trigonométricas útiles se pueden aplicar con ángulos especiales como \(45^\circ\) y \(60^\circ\)?

### Consejo:
Cuando utilices identidades trigonométricas, asegúrate de conocer los valores de las funciones trigonométricas para ángulos comunes como \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\). Esto facilita la resolución de muchos problemas de trigonometría.

Learn how to find the exact value of cos(15°) by applying the angle difference formula: cos(60° - 45°). This solution explains each step using fundamental trigonometric identities, including the known values for cos(60°), sin(60°), cos(45°), and sin(45°). Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation