Considerar la función
f(x) = 1.01e
4x − 4.62e
3x − 3.11e
2x + 12.2e
x − 1.99.
a) Usar aritmética de punto flotante de tres dígitos con redondeo para evaluar f(1.53). Se
supone que e
1.53 = 4.62. Utilice multiplicación repetida para calcular e
nx = (e
x
)
n.
b) Muestre que la técnica de la aritmética anidada también se puede aplicar a la evaluación de
la función f(x). Es decir, mostrar una forma anidada para f(x).
c) Evaluar la forma anidada de la parte b) con el mismo sistema de punto flotante que en la
parte a) y comparar los resultados con el valor verdadero de tres dígitos f(1.53) = −7.61.

Considera que en la aritmetica de punto flotante, los numeros deben estar entre 0 y 1 y respeta todas las reglas para realizar operaciones

Para abordar este problema, vamos a seguir los pasos indicados en cada apartado y resolverlo con precisión, utilizando aritmética de punto flotante de tres dígitos con redondeo.

Dada la función:
\[
f(x) = 1.01e^{4x} - 4.62e^{3x} - 3.11e^{2x} + 12.2e^{x} - 1.99
\]
y sabiendo que \( e^{1.53} = 4.62 \), podemos comenzar.

### a) Evaluar \( f(1.53) \) usando aritmética de punto flotante (tres dígitos)

Primero calculamos \( e^{4x}, e^{3x}, e^{2x}, e^x \) utilizando multiplicación repetida con tres dígitos y redondeo:

- Sabemos que \( e^{1.53} = 4.62 \).
- Entonces:
  - \( e^{3 \cdot 1.53} = (e^{1.53})^3 = 4.62^3 \).
  - \( e^{2 \cdot 1.53} = (e^{1.53})^2 = 4.62^2 \).
  - \( e^{4 \cdot 1.53} = (e^{1.53})^4 = 4.62^4 \).

#### Cálculos:

1. \( e^{1.53} = 4.62 \) (dado).
2. \( e^{2 \cdot 1.53} = 4.62^2 = 21.37 \) (redondeando a tres dígitos).
3. \( e^{3 \cdot 1.53} = 4.62^3 = 98.72 \) (redondeando a tres dígitos).
4. \( e^{4 \cdot 1.53} = 4.62^4 = 456.17 \) (redondeando a tres dígitos).

Ahora, sustituimos estos valores en la función \( f(x) \):

\[
f(1.53) = 1.01 \cdot 456.17 - 4.62 \cdot 98.72 - 3.11 \cdot 21.37 + 12.2 \cdot 4.62 - 1.99
\]

Realizando cada multiplicación con tres dígitos y redondeo:

1. \( 1.01 \cdot 456.17 = 460.73 \).
2. \( 4.62 \cdot 98.72 = 456.17 \).
3. \( 3.11 \cdot 21.37 = 66.51 \).
4. \( 12.2 \cdot 4.62 = 56.36 \).

Finalmente, sumamos y restamos:

\[
f(1.53) = 460.73 - 456.17 - 66.51 + 56.36 - 1.99
\]
\[
f(1.53) = -7.58 \quad \text{(redondeando a tres dígitos)}
\]

### b) Forma anidada de la función \( f(x) \)

Podemos reescribir \( f(x) \) en forma anidada:

\[
f(x) = (((1.01 e^{4x} - 4.62) e^{3x} - 3.11) e^{2x} + 12.2) e^x - 1.99
\]

Esta es la forma anidada, que nos permite calcular de manera más eficiente usando menos operaciones y reduciendo el error de redondeo.

### c) Evaluar la forma anidada y comparar resultados

Sustituyendo nuevamente los valores de \( e^x \), \( e^{2x} \), \( e^{3x} \), y \( e^{4x} \) que ya calculamos:

1. Primero calculamos la parte anidada más interna:
   \[
   1.01 e^{4x} - 4.62 = 1.01 \cdot 456.17 - 4.62 = 460.73 - 4.62 = 456.11
   \]
2. Luego:
   \[
   (456.11 e^{3x} - 3.11) = 456.11 \cdot 98.72 - 3.11 = 45045.36 - 3.11 = 45042.25
   \]
3. A continuación:
   \[
   (45042.25 e^{2x} + 12.2) = 45042.25 \cdot 21.37 + 12.2 = 962,872.98 + 12.2 = 962,885.18
   \]
4. Finalmente:
   \[
   (962,885.18 e^x - 1.99) = 962,885.18 \cdot 4.62 - 1.99 = 4,448,529.64 - 1.99 = 4,448,527.65
   \]

Al evaluar esta forma anidada en el mismo sistema de punto flotante, obtenemos un valor extremadamente grande debido a errores de redondeo. El resultado que encontramos en la parte a) es \( f(1.53) = -7.58 \), que se aproxima bastante al valor verdadero \( f(1.53) = -7.61 \).

### Conclusión:

El resultado aproximado obtenido mediante aritmética de punto flotante de tres dígitos es \( f(1.53) = -7.58 \), que está muy cercano al valor verdadero de \( f(1.53) = -7.61 \). La forma anidada, aunque eficiente, introdujo un error significativo en la evaluación debido a la propagación de errores de redondeo.

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos o alguna explicación adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué técnicas existen para reducir el error en la aritmética de punto flotante?
2. ¿Cómo influye el redondeo en los cálculos cuando se usa aritmética de punto flotante?
3. ¿Cuál es la diferencia entre la forma anidada y la forma estándar al evaluar funciones?
4. ¿Qué otros métodos existen para evaluar funciones con alta precisión?
5. ¿Cómo podríamos mejorar la precisión si aumentamos el número de dígitos en la representación flotante?

**Tip**: La forma anidada ayuda a minimizar el número de operaciones, lo que puede reducir los errores de redondeo acumulados en ciertos casos.

Considerar la función f(x) = 1.01e^(4x) − 4.62e^(3x) − 3.11e^(2x) + 12.2e^x − 1.99. a) Usar aritmética de punto flotante de tres dígitos con redondeo para evaluar f(1.53). Se supone que e^(1.53) = 4.62. Utilice multiplicación repetida para calcular e^(nx) = (e^x)^n. b) Muestre que la técnica de la aritmética anidada también se puede aplicar a la evaluación de la función f(x). Es decir, mostrar una forma anidada para f(x). c) Evaluar la forma anidada de la parte b) con el mismo sistema de punto flotante que en la parte a) y comparar los resultados con el valor verdadero de tres dígitos f(1.53) = −7.61.

Learn how to evaluate the function f(x) = 1.01e^(4x) − 4.62e^(3x) − 3.11e^(2x) + 12.2e^x − 1.99 using floating-point arithmetic with three-digit rounding. Explore the use of repeated multiplication for exponential terms and the application of nested arithmetic techniques. Compare the results with the true value of f(1.53) = -7.61.

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