¿Cuál es el valor de la integral definida?

∫42(2sin(x)−cos(x))dx

Para encontrar el valor de la integral definida 

\[
\int_{2}^{4} (2 \sin(x) - \cos(x)) \, dx
\]

sigamos los siguientes pasos:

1. **Integramos la función \(2 \sin(x) - \cos(x)\)**:

\[
\int (2 \sin(x) - \cos(x)) \, dx
\]

Sabemos que:

\[
\int \sin(x) \, dx = -\cos(x)
\]
\[
\int \cos(x) \, dx = \sin(x)
\]

Por lo tanto:

\[
\int 2 \sin(x) \, dx = 2 \int \sin(x) \, dx = 2(-\cos(x)) = -2 \cos(x)
\]
\[
\int -\cos(x) \, dx = -\sin(x)
\]

Entonces, la integral indefinida es:

\[
\int (2 \sin(x) - \cos(x)) \, dx = -2 \cos(x) - \sin(x) + C
\]

2. **Evaluamos la integral definida**:

\[
\left[ -2 \cos(x) - \sin(x) \right]_2^4
\]

Evaluamos en los límites de integración \(x = 4\) y \(x = 2\):

\[
\left( -2 \cos(4) - \sin(4) \right) - \left( -2 \cos(2) - \sin(2) \right)
\]

Simplificando:

\[
= -2 \cos(4) - \sin(4) + 2 \cos(2) + \sin(2)
\]

Por lo tanto, el valor de la integral definida es:

\[
-2 \cos(4) - \sin(4) + 2 \cos(2) + \sin(2)
\]

Si se necesitan los valores numéricos exactos, podemos aproximar usando una calculadora:

\[
\cos(4) \approx -0.6536
\]
\[
\sin(4) \approx -0.7568
\]
\[
\cos(2) \approx -0.4161
\]
\[
\sin(2) \approx 0.9093
\]

Sustituyendo estos valores:

\[
-2(-0.6536) - (-0.7568) + 2(-0.4161) + 0.9093
\]
\[
= 1.3072 + 0.7568 - 0.8322 + 0.9093
\]
\[
= 2.1411
\]

Así que el valor aproximado de la integral definida es \(2.1411\).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre este problema? Aquí tienes algunas preguntas que podrías hacer:

1. ¿Cómo se derivan las funciones trigonométricas?
2. ¿Cuál es la diferencia entre una integral definida e indefinida?
3. ¿Cómo se utilizan las integrales en la física?
4. ¿Qué métodos numéricos existen para aproximar integrales?
5. ¿Cómo se resuelven integrales que involucran productos de funciones?

**Tip**: Al integrar funciones trigonométricas, es útil recordar las identidades trigonométricas y las reglas básicas de integración.

Learn how to calculate the definite integral ∫(2sin(x)−cos(x))dx from 2 to 4 step-by-step. This problem involves integration of trigonometric functions using integration by parts and trigonometric identities.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation