.
Equação da parábola, vértice (0,0)
, foco (0,2)
 e diretriz y=−2
.


b.
Equação da elipse, focos nos pontos (0,−4)
 e  (0,4)
, vértices nos pontos (0,−5)
 e (0,5)
.


c.
Equação da hipérbole, focos nos pontos (−8–√,0)
 e  (8–√,0)
, vértices nos pontos (−2,0)
 e (2,0)
 e assíntotas y=±x
. 


d.
Equação da hipérbole, focos nos pontos (−34−−√,0)
 e  (34−−√,0)
, vértices nos pontos (−5,0)
 e (5,0)
 e assíntotas y=±35x
. 


e.
Equação da elipse, focos nos pontos (2,0)
 e  (−2,0)
, vértices nos pontos (−3,0)
 e (3,0)
.

Vamos analisar cada uma das afirmações para determinar qual delas é verdadeira.

### a. Equação da parábola, vértice \((0,0)\), foco \((0,2)\) e diretriz \(y = -2\)

Para uma parábola com vértice em \((0,0)\), foco em \((0,2)\) e diretriz \(y = -2\), a equação tem a forma:
\[
y = \frac{1}{4p}x^2
\]
onde \(p\) é a distância do vértice ao foco (ou do vértice à diretriz).

Aqui, \(p = 2\), então a equação da parábola é:
\[
y = \frac{1}{8}x^2
\]
Essa equação não corresponde à equação geral fornecida nas afirmações, portanto, **não é verdadeira**.

### b. Equação da elipse, focos nos pontos \((0,-4)\) e \((0,4)\), vértices nos pontos \((0,-5)\) e \((0,5)\)

Para uma elipse com focos em \((0,-4)\) e \((0,4)\) e vértices em \((0,-5)\) e \((0,5)\), a equação tem a forma:
\[
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1
\]
onde \(a\) é o semi-eixo maior e \(b\) o semi-eixo menor. Aqui:
- Distância entre os focos: \(2c = 8 \Rightarrow c = 4\)
- Distância entre os vértices: \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)
  
Para elipses, a relação é \(a^2 = b^2 + c^2\). Calculando \(b\):
\[
25 = b^2 + 16 \Rightarrow b^2 = 9 \Rightarrow b = 3
\]
A equação da elipse é:
\[
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1
\]
Portanto, **essa afirmação é verdadeira**.

### c. Equação da hipérbole, focos nos pontos \((- \sqrt{8},0)\) e \((\sqrt{8},0)\), vértices nos pontos \((-2,0)\) e \((2,0)\), e assíntotas \(y = \pm x\)

Para uma hipérbole com essas características, a equação é da forma:
\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
Aqui:
- Distância entre os focos: \(2c = 2\sqrt{8} \Rightarrow c = \sqrt{8}\)
- Distância entre os vértices: \(2a = 4 \Rightarrow a = 2\)
  
Para hipérboles, a relação é \(c^2 = a^2 + b^2\). Sabemos que as assíntotas são \(y = \pm\frac{b}{a}x\). Calculando \(b\):
\[
8 = 4 + b^2 \Rightarrow b^2 = 4 \Rightarrow b = 2
\]
A equação da hipérbole é:
\[
\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1
\]
Portanto, **essa afirmação não é verdadeira**.

### d. Equação da hipérbole, focos nos pontos \((- \sqrt{34},0)\) e \((\sqrt{34},0)\), vértices nos pontos \((-5,0)\) e \((5,0)\), e assíntotas \(y = \pm\frac{3}{5}x\)

Para uma hipérbole com essas características:
\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
Aqui:
- \(c^2 = 34\), \(c = \sqrt{34}\)
- Distância entre os vértices: \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)
  
Calculando \(b\) e confirmando as assíntotas:
\[
34 = 25 + b^2 \Rightarrow b^2 = 9 \Rightarrow b = 3
\]
As assíntotas são \(y = \pm\frac{3}{5}x\), que coincide com a afirmação.

A equação da hipérbole é:
\[
\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1
\]
Portanto, **essa afirmação é verdadeira**.

### e. Equação da elipse, focos nos pontos \((2,0)\) e \((-2,0)\), vértices nos pontos \((-3,0)\) e \((3,0)\)

Para uma elipse com focos em \((2,0)\) e \((-2,0)\) e vértices em \((3,0)\) e \((-3,0)\):
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
Aqui:
- Distância entre os focos: \(2c = 4 \Rightarrow c = 2\)
- Distância entre os vértices: \(2a = 6 \Rightarrow a = 3\)
  
Calculando \(b\):
\[
9 = 4 + b^2 \Rightarrow b^2 = 5
\]
A equação da elipse é:
\[
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1
\]
Portanto, **essa afirmação é verdadeira**.

### Resumo

As afirmações corretas são as das alternativas **b**, **d**, e **e**.

Você quer mais detalhes ou tem alguma pergunta?

### Questões Relacionadas:
1. Como se determinam as equações das assíntotas de uma hipérbole?
2. Quais são as diferenças entre as equações de elipses e hipérboles?
3. Como o formato dos focos afeta a forma de uma cônica?
4. Como encontrar a excentricidade de uma elipse ou hipérbole?
5. Qual é a diferença entre o semi-eixo maior e o semi-eixo menor de uma elipse?

**Dica:** Quando analisar as características de uma cônica, como focos e vértices, lembre-se das fórmulas específicas que relacionam \(a\), \(b\), e \(c\) para determinar a equação correta.

Descubra as equações de parábola, elipse e hipérbole com vértices, focos e diretrizes especificadas. Analisamos cada caso para determinar a veracidade das afirmações dadas.

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