Un modelo de crecimiento poblacional está dado por ft=5t+2e0.1t, en donde “t” representa el tiempo en años y la función determinara la cantidad de habitantes en un periodo de tiempo. Determine: * El tiempo para el cual la población alcanzará los 200 habitantes

La función de crecimiento poblacional está dada por:

\[
f(t) = 5t + 2e^{0.1t}
\]

Queremos encontrar el tiempo \( t \) en el cual la población alcanza los 200 habitantes. Es decir, debemos resolver la siguiente ecuación:

\[
5t + 2e^{0.1t} = 200
\]

### Paso 1: Aislar el término exponencial
Primero, restamos \( 5t \) en ambos lados de la ecuación:

\[
2e^{0.1t} = 200 - 5t
\]

### Paso 2: Dividir por 2
Dividimos ambos lados de la ecuación por 2:

\[
e^{0.1t} = \frac{200 - 5t}{2}
\]

### Paso 3: Tomar el logaritmo natural
Para despejar \( t \), tomamos el logaritmo natural (ln) en ambos lados:

\[
0.1t = \ln \left( \frac{200 - 5t}{2} \right)
\]

### Paso 4: Resolver para \( t \)
Finalmente, despejamos \( t \):

\[
t = \frac{1}{0.1} \ln \left( \frac{200 - 5t}{2} \right)
\]
\[
t = 10 \ln \left( \frac{200 - 5t}{2} \right)
\]

Este tipo de ecuación no puede resolverse de forma algebraica exacta debido a la presencia de \( t \) en ambos lados de la ecuación, pero puede resolverse utilizando métodos numéricos, como el método de Newton o mediante una aproximación gráfica.

¿Te gustaría que lo resolviera utilizando algún método numérico para encontrar el valor aproximado de \( t \)? 

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el coeficiente exponencial \( 0.1t \) al crecimiento de la población?
2. ¿Qué sucedería si el crecimiento poblacional fuera lineal en vez de exponencial?
3. ¿Qué otras técnicas numéricas se podrían usar para resolver este tipo de ecuaciones?
4. ¿Cómo se interpreta la tasa de crecimiento \( 0.1 \) en el contexto del modelo?
5. ¿Qué otros factores podrían influir en un modelo de crecimiento poblacional?

**Tip:** Al trabajar con ecuaciones que involucran exponentes y logaritmos, los métodos numéricos suelen ser muy útiles para encontrar soluciones aproximadas.

Explore how to solve a population growth equation modeled by f(t) = 5t + 2e^{0.1t} to determine the time when the population reaches 200 inhabitants. This problem involves key concepts like exponential growth, logarithms, and numerical methods for solving equations.

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