                                                                        (2x-1 si -5≤x≤1/2
Determinar el dominio y recorrido de f(x)= ((x-1/2)^2 si 1/2<x<3/2
                                                                        (|x-3/2| si x>3/2


La función \( f(x) \) está definida de manera **por partes** como sigue:

\[
f(x) = 
\begin{cases} 
2x - 1 & \text{si } -5 \leq x \leq \frac{1}{2} \\
\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 & \text{si } \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \\
|x - \frac{3}{2}| & \text{si } x > \frac{3}{2}
\end{cases}
\]

### Dominio
El **dominio** de \( f(x) \) es el conjunto de valores de \( x \) para los cuales la función está definida. Observamos los intervalos dados en cada una de las tres partes de la función:

1. \( -5 \leq x \leq \frac{1}{2} \)
2. \( \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \)
3. \( x > \frac{3}{2} \)

El dominio de la función es la **unión** de estos intervalos, lo que da como resultado:

\[
\boxed{[-5, \frac{1}{2}] \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)}
\]
Es decir, la función está definida para todos los valores de \( x \) entre \( -5 \) y \( \infty \), excepto \( x = \frac{1}{2} \) y \( x = \frac{3}{2} \), que no están incluidos.

### Recorrido
El **recorrido** o **imagen** de la función es el conjunto de valores que puede tomar \( f(x) \) para los valores de \( x \) en su dominio. Para determinar esto, evaluamos cada parte de la función:

1. Para \( f(x) = 2x - 1 \) en \( -5 \leq x \leq \frac{1}{2} \):
   \[
   f(-5) = 2(-5) - 1 = -11, \quad f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 0
   \]
   Entonces, la imagen de esta parte es el intervalo \( [-11, 0] \).

2. Para \( f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \) en \( \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \):
   Esta es una parábola con vértice en \( x = \frac{1}{2} \), donde el valor mínimo es \( 0 \), y para \( x = \frac{3}{2} \), se tiene:
   \[
   f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 = 1^2 = 1
   \]
   Entonces, el recorrido de esta parte es \( (0, 1) \).

3. Para \( f(x) = |x - \frac{3}{2}| \) en \( x > \frac{3}{2} \):
   Esta es la función valor absoluto, cuyo valor mínimo es \( 0 \) en \( x = \frac{3}{2} \), y a medida que \( x \) aumenta, los valores de \( f(x) \) también aumentan sin límite. Por lo tanto, el recorrido de esta parte es \( (0, \infty) \).

Combinando todas las imágenes:

\[
\boxed{[-11, 0] \cup (0, 1) \cup (0, \infty)}
\]

### Resumen

- **Dominio**: \( [-5, \frac{1}{2}] \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty) \)
- **Recorrido**: \( [-11, 0] \cup (0, 1) \cup (0, \infty) \)

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentran los puntos de discontinuidad en una función por partes?
2. ¿Qué método se puede usar para graficar una función definida por partes?
3. ¿Cómo se calcula el límite en los puntos donde cambia la definición de una función por partes?
4. ¿Cómo afecta la continuidad de una función su recorrido?
5. ¿Cómo se interpretan las derivadas de una función por partes?

### Tip: Al graficar una función por partes, asegúrate de considerar la continuidad en los puntos de cambio de definición para obtener una gráfica precisa.

(2x-1 si -5≤x≤1/2 Determinar el dominio y recorrido de f(x)= ((x-1/2)^2 si 1/2<x<3/2 (|x-3/2| si x>3/2

Explore the domain and range of a complex piecewise function involving linear, quadratic, and absolute value expressions. This detailed step-by-step solution covers key mathematical concepts, suitable for students in Grades 10-12.

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