ocê está no topo de um prédio que possui 30 metros de altura, e de lá joga uma bola de futebol para baixo sobre uma superfície plana. Todas as vezes que esta bola cai, ela torna a subir ¾ da altura anterior. Considere as informações contidas nessa situação-problema e responda:

* Qual é a distância percorrida pela bola, quicando para cima e para baixo? 

* Essa situação pode ser escrita em forma de série, desta forma qual é o 1° termo dessa sequência? 

* Ela possui uma razão, se sim, qual é? 

* É uma série que Converge ou Diverge? 

* É possível calcular a soma da Série, se sim, qual é? Apresente os cálculos. 

Vamos resolver cada parte da situação-problema em etapas.

### 1. Qual é a distância percorrida pela bola, quicando para cima e para baixo?

A bola é lançada de uma altura de 30 metros e, cada vez que atinge o solo, ela sobe ¾ da altura da queda anterior. Podemos dividir a trajetória da bola em dois movimentos: para baixo e para cima.

- Primeira queda: a bola cai 30 metros.
- Primeira subida: a bola sobe \( 30 \times \frac{3}{4} = 22,5 \) metros.
- Segunda queda: a bola cai 22,5 metros.
- Segunda subida: a bola sobe \( 22,5 \times \frac{3}{4} = 16,875 \) metros.
- E assim por diante.

O padrão é claro: a bola continua subindo e caindo, mas cada vez a altura é ¾ da altura anterior.

A distância total percorrida é a soma de todas as distâncias de descida e subida, que pode ser escrita como uma série geométrica infinita.

### 2. Qual é o 1° termo dessa sequência?

O primeiro termo da série geométrica é a **altura inicial da queda**, ou seja, **30 metros**.

### 3. Ela possui uma razão, se sim, qual é?

Sim, a série é geométrica, e a razão (\( r \)) da série é \( \frac{3}{4} \), porque cada subida é ¾ da altura anterior.

### 4. É uma série que Converge ou Diverge?

A série converge, porque a razão \( r = \frac{3}{4} \) é menor que 1. Para séries geométricas, se \( |r| < 1 \), a série converge.

### 5. É possível calcular a soma da Série, se sim, qual é? Apresente os cálculos.

Sim, é possível calcular a soma da série geométrica convergente.

A série completa inclui tanto as descidas quanto as subidas. Vamos calcular essas duas somas separadamente:

1. **Distância total das descidas:**
   - A primeira descida é de 30 metros, e a série geométrica das descidas subsequentes tem o primeiro termo \( a = 30 \) e a razão \( r = \frac{3}{4} \).
   - A soma das distâncias de todas as descidas é dada por:
     \[
     S_{\text{descidas}} = 30 + 30 \times \left( \frac{3}{4} \right) + 30 \times \left( \frac{3}{4} \right)^2 + \dots
     \]
     Esta é uma série geométrica com soma \( S = \frac{a}{1 - r} \):
     \[
     S_{\text{descidas}} = \frac{30}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{30}{\frac{1}{4}} = 120 \text{ metros}.
     \]

2. **Distância total das subidas:**
   - A primeira subida é de \( 30 \times \frac{3}{4} = 22,5 \) metros, e as subidas subsequentes seguem uma série geométrica com \( a = 22,5 \) e \( r = \frac{3}{4} \).
   - A soma das distâncias de todas as subidas é:
     \[
     S_{\text{subidas}} = 22,5 + 22,5 \times \frac{3}{4} + 22,5 \times \left( \frac{3}{4} \right)^2 + \dots
     \]
     A soma é:
     \[
     S_{\text{subidas}} = \frac{22,5}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{22,5}{\frac{1}{4}} = 90 \text{ metros}.
     \]

### Distância total percorrida

A distância total percorrida pela bola é a soma das distâncias de descida e subida:
\[
S_{\text{total}} = S_{\text{descidas}} + S_{\text{subidas}} = 120 + 90 = 210 \text{ metros}.
\]

---

**Resumo das respostas:**
1. **Distância total percorrida:** 210 metros.
2. **Primeiro termo da sequência:** 30 metros.
3. **Razão da sequência:** \( \frac{3}{4} \).
4. **Série converge.**
5. **Soma da série:** 210 metros.

---

**Dúvidas ou deseja mais detalhes?**

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. O que aconteceria se a razão da série geométrica fosse maior que 1?
2. Como a razão afeta a convergência de uma série geométrica?
3. Como calcular a soma de uma série geométrica divergente?
4. Qual seria a distância total se a bola perdesse mais de ¾ da altura a cada quique?
5. É possível aplicar séries geométricas para outros tipos de movimento físico?

**Dica:** Para identificar se uma série geométrica converge, sempre verifique se a razão absoluta (\( |r| \)) é menor que 1!

Você está no topo de um prédio que possui 30 metros de altura, e de lá joga uma bola de futebol para baixo sobre uma superfície plana. Todas as vezes que esta bola cai, ela torna a subir ¾ da altura anterior. Considere as informações contidas nessa situação-problema e responda:

* Qual é a distância percorrida pela bola, quicando para cima e para baixo? 

* Essa situação pode ser escrita em forma de série, desta forma qual é o 1° termo dessa sequência? 

* Ela possui uma razão, se sim, qual é? 

* É uma série que Converge ou Diverge? 

* É possível calcular a soma da Série, se sim, qual é? Apresente os cálculos.

Solve the problem of a ball bouncing down from a height of 30 meters, where each bounce reaches ¾ of the previous height. Learn how to calculate the total distance traveled, the first term of the series, the common ratio, and whether the series converges. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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