Se va a diseñar una lata cilíndrica de 375mL de capacidad ¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo del material para su fabricación?

Para minimizar el costo del material utilizado en la fabricación de una lata cilíndrica, debemos minimizar el área de la superficie del cilindro, dado que el costo del material suele estar directamente relacionado con la cantidad de material utilizado. 

### Datos:
- Volumen de la lata \( V = 375 \, \text{mL} = 375 \, \text{cm}^3 \) (asumiendo que 1 mL = 1 cm³).

### Fórmulas importantes:
1. **Volumen del cilindro**: 
   \[
   V = \pi r^2 h
   \]
   donde \( r \) es el radio de la base y \( h \) es la altura del cilindro.

2. **Área de la superficie del cilindro**: 
   \[
   A = 2\pi r h + 2\pi r^2
   \]
   El primer término \( 2\pi r h \) representa el área lateral, y el segundo término \( 2\pi r^2 \) representa el área de las dos bases.

### Paso 1: Expresar la altura en función del radio
De la fórmula del volumen, despejamos \( h \):
\[
h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{375}{\pi r^2}
\]

### Paso 2: Sustituir \( h \) en la fórmula del área
Sustituyendo \( h \) en la fórmula del área superficial:
\[
A(r) = 2\pi r \left(\frac{375}{\pi r^2}\right) + 2\pi r^2
\]
Simplificando:
\[
A(r) = \frac{750}{r} + 2\pi r^2
\]

### Paso 3: Minimizar el área
Para minimizar el área, derivamos \( A(r) \) respecto a \( r \) y luego igualamos a cero:
\[
\frac{dA}{dr} = -\frac{750}{r^2} + 4\pi r = 0
\]
Multiplicando ambos lados por \( r^2 \) para simplificar:
\[
-750 + 4\pi r^3 = 0
\]
Despejamos \( r^3 \):
\[
r^3 = \frac{750}{4\pi}
\]
\[
r = \left(\frac{750}{4\pi}\right)^{1/3}
\]

Calculando el valor numérico:
\[
r \approx \left(\frac{750}{4\pi}\right)^{1/3} \approx 3.84 \, \text{cm}
\]

### Paso 4: Calcular la altura correspondiente
Usamos elvalor de \( r \) para calcular la altura \( h \):

\[
h = \frac{375}{\pi r^2}
\]

Sustituyendo \( r = 3.84 \, \text{cm} \):

\[
h = \frac{375}{\pi (3.84)^2} \approx \frac{375}{46.4\pi} \approx 2.67 \, \text{cm}
\]

### Resumen de las dimensiones óptimas:
- **Radio óptimo** \( r \approx 3.84 \, \text{cm} \)
- **Altura óptima** \( h \approx 2.67 \, \text{cm} \)

Estas dimensiones minimizan el área de superficie de la lata, lo que reduce el costo del material necesario para su fabricación.

### ¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcularía el costo total si se conociera el precio por centímetro cuadrado de material?
2. ¿Qué pasa si se imponen restricciones en la relación entre la altura y el radio?
3. ¿Cómo se puede aplicar este método a envases de forma diferente, como una caja rectangular?
4. ¿Cómo afectaría un cambio en el volumen de la lata a las dimensiones óptimas?
5. ¿Qué otros factores, además del material, podrían influir en el costo de fabricación?

#### Consejo: 
En problemas de optimización, es útil verificar si el valor encontrado realmente minimiza o maximiza la función evaluando la segunda derivada.

Descubre cómo calcular las dimensiones óptimas de una lata cilíndrica de 375mL para minimizar el costo del material. Aprenderás sobre conceptos de optimización, cálculo de áreas y uso de derivadas, ideal para estudiantes de secundaria (Grados 10-12).

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