4.- Sean las funciones

f(x) = 2 sen2x

h(x) = cos 2x

m(x) = y = ang cot (x), γ∈(0, π)

Determinar el dominio de:

a) (f+h)(x)

b) 3 m (x)

c) (f/h)(x)

Para determinar el dominio de las funciones dadas en cada caso, debemos asegurarnos de que las operaciones involucradas (suma, producto, cociente) sean válidas para los valores de \(x\). El dominio se define por los valores de \(x\) donde las funciones están bien definidas.

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**Funciones dadas:**

- \( f(x) = 2 \sin(2x) \)
- \( h(x) = \cos(2x) \)
- \( m(x) = \cot(x) \), con \( x \in (0, \pi) \)

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### a) Dominio de \( (f+h)(x) = f(x) + h(x) \)

La suma de \( f(x) \) y \( h(x) \) está bien definida donde ambas funciones existen.

- \( \sin(2x) \) y \( \cos(2x) \) están definidas para todos los números reales. No tienen restricciones particulares.
  
Por lo tanto, el dominio de \( (f+h)(x) \) es:
\[
D(f+h) = \mathbb{R}
\]
Es decir, el dominio de la función suma es todo \( \mathbb{R} \).

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### b) Dominio de \( 3m(x) = 3 \cot(x) \)

Para que \( m(x) = \cot(x) \) esté definida, debemos evitar los valores de \(x\) en los cuales la tangente es 0, ya que la cotangente es el inverso de la tangente:

- \( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \) no está definida donde \( \tan(x) = 0 \), lo cual ocurre en \( x = n\pi \), con \( n \in \mathbb{Z} \).

Además, la restricción original de \( \gamma \in (0, \pi) \) ya limita los valores de \(x\) entre 0 y \( \pi \), excluyendo el 0 y \( \pi \).

Por lo tanto, el dominio de \( 3m(x) \) es:
\[
D(3m) = (0, \pi)
\]

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### c) Dominio de \( \left( \frac{f}{h} \right)(x) = \frac{2 \sin(2x)}{\cos(2x)} \)

Para que la función cociente esté bien definida, debemos evitar los valores de \(x\) donde el denominador sea 0, es decir, cuando \( \cos(2x) = 0 \).

- \( \cos(2x) = 0 \) ocurre cuando \( 2x = \frac{\pi}{2} + n\pi \), con \( n \in \mathbb{Z} \), lo cual implica que \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} \), con \( n \in \mathbb{Z} \).

Por lo tanto, debemos excluir estos valores de \(x\). El dominio de \( \frac{f}{h}(x) \) es:
\[
D\left(\frac{f}{h}\right) = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} \, | \, n \in \mathbb{Z} \right\}
\]

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¿Te gustaría una explicación más detallada sobre algún paso? Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se comportan las funciones trigonométricas en los diferentes intervalos?
2. ¿Cómo calcular el dominio de una función cociente en casos más complejos?
3. ¿Cuál es la relación entre el periodo de una función trigonométrica y su dominio?
4. ¿Qué sucede con la cotangente en otros intervalos distintos de \( (0, \pi) \)?
5. ¿Cómo afecta una transformación como \(2x\) al dominio de una función trigonométrica?

**Tip:** Cuando trabajes con funciones trigonométricas, siempre es útil identificar los valores de \(x\) que anulan el denominador o hacen que las funciones no estén definidas.

Sean las funciones f(x) = 2 sen2x, h(x) = cos 2x, m(x) = cot(x), γ ∈ (0, π). Determinar el dominio de: a) (f+h)(x), b) 3m(x), c) (f/h)(x).

Learn how to find the domain of trigonometric functions such as (f+h)(x), 3m(x), and (f/h)(x). This problem involves sum, product, and quotient of functions and their domains, focusing on sine, cosine, and cotangent functions. Suitable for students in Grades 11-12.

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