Dadas las funciones f(x)=Raiz al cuadrado de x−8 y g(x)= x^2+3x−10. Hallar el dominio de fog y el dominio de gof

Para hallar el dominio de las funciones compuestas \( (f \circ g)(x) \) y \( (g \circ f)(x) \), necesitamos analizar las restricciones impuestas por ambas funciones, tanto individualmente como en la composición. 

Dadas las funciones:

- \( f(x) = \sqrt{x - 8} \)
- \( g(x) = x^2 + 3x - 10 \)

### 1. Dominio de \( f(x) \):
Para que \( f(x) \) esté bien definida, el argumento de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual a 8:

\[
x - 8 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 8
\]

Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es \( [8, \infty) \).

### 2. Dominio de \( g(x) \):
La función \( g(x) \) es un polinomio cuadrático, que está definida para todos los números reales. Entonces, el dominio de \( g(x) \) es \( \mathbb{R} \) (todos los reales).

### 3. Dominio de \( (f \circ g)(x) \):
La función \( (f \circ g)(x) \) se define como \( f(g(x)) \). Para que esté bien definida, \( g(x) \) debe estar en el dominio de \( f(x) \), es decir, necesitamos que:

\[
g(x) \geq 8
\]

Entonces, resolvemos la desigualdad:

\[
x^2 + 3x - 10 \geq 8
\]

\[
x^2 + 3x - 18 \geq 0
\]

Ahora, resolvemos la ecuación cuadrática correspondiente:

\[
x^2 + 3x - 18 = 0
\]

Utilizando la fórmula cuadrática:

\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 + 4(18)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 \pm 9}{2}
\]

Obtenemos dos soluciones:

\[
x_1 = 3, \quad x_2 = -6
\]

La expresión cuadrática se factoriza como \( (x - 3)(x + 6) \geq 0 \). Esto se cumple en los intervalos:

\[
x \in (-\infty, -6] \cup [3, \infty)
\]

Entonces, el dominio de \( (f \circ g)(x) \) es \( (-\infty, -6] \cup [3, \infty) \).

### 4. Dominio de \( (g \circ f)(x) \):
La función \( (g \circ f)(x) \) se define como \( g(f(x)) \). Dado que \( f(x) \) tiene como dominio \( [8, \infty) \), \( f(x) \) solo producirá valores en ese intervalo, lo cual no impone ninguna restricción adicional sobre \( g(x) \), porque \( g(x) \) está definida para todos los reales.

Por lo tanto, el dominio de \( (g \circ f)(x) \) es simplemente el dominio de \( f(x) \), es decir, \( [8, \infty) \).

### Resumen de los dominios:

- El dominio de \( (f \circ g)(x) \) es \( (-\infty, -6] \cup [3, \infty) \).
- El dominio de \( (g \circ f)(x) \) es \( [8, \infty) \).

¿Quieres más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el rango de una función compuesta?
2. ¿Cuál es el significado geométrico del dominio de una función?
3. ¿Cómo se factoriza un polinomio cuadrático?
4. ¿Cómo afecta el dominio de una función al dominio de una función compuesta?
5. ¿Qué otros métodos existen para resolver desigualdades cuadráticas?

**Tip:** Al resolver funciones compuestas, siempre verifica si el resultado de la primera función es válido dentro del dominio de la segunda función.

Explore how to find the domain of composite functions f(g(x)) and g(f(x)) using examples. This problem covers functions, quadratic equations, and domain analysis. Suitable for high school students.

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