cho hàm số y=(x^2-2(m+4)x+2m+12).e^x. Gọi S là tổng các giá trị nguyên của m để làm số đồng biến trên tập xác định của nó, tính S

Cho hàm số \( y = (x^2 - 2(m+4)x + 2m + 12) \cdot e^x \), ta cần tìm tổng các giá trị nguyên của \( m \) sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

### Bước 1: Xác định điều kiện đồng biến của hàm số
Hàm số \( y \) sẽ đồng biến khi đạo hàm của nó \( y' \geq 0 \) trên tập xác định.

Trước hết, ta tìm đạo hàm của hàm số:
\[
y = u(x) \cdot v(x)
\]
với \( u(x) = x^2 - 2(m+4)x + 2m + 12 \) và \( v(x) = e^x \). Sử dụng quy tắc đạo hàm tích, ta có:
\[
y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
Vì \( v(x) = e^x \) nên \( v'(x) = e^x \), ta có:
\[
y' = u'(x) \cdot e^x + u(x) \cdot e^x
\]
\[
y' = (u'(x) + u(x)) \cdot e^x
\]
Do \( e^x > 0 \) với mọi \( x \), điều kiện để \( y' \geq 0 \) là \( u'(x) + u(x) \geq 0 \).

### Bước 2: Tìm \( u'(x) \) và điều kiện đồng biến
Ta tính \( u'(x) \):
\[
u(x) = x^2 - 2(m+4)x + 2m + 12
\]
\[
u'(x) = 2x - 2(m+4)
\]
Khi đó, điều kiện đồng biến trở thành:
\[
2x - 2(m+4) + (x^2 - 2(m+4)x + 2m + 12) \geq 0
\]
Tức là:
\[
x^2 + 2x - 2(m+4)x + 2m + 12 - 2(m+4) \geq 0
\]
\[
x^2 + 2x - 2(m+4)x + 2m + 12 - 2m - 8 \geq 0
\]
\[
x^2 - 2(m+3)x + 4 \geq 0
\]

### Bước 3: Điều kiện để bất phương trình \( x^2 - 2(m+3)x + 4 \geq 0 \) đúng với mọi \( x \)
Để bất phương trình này luôn không âm, ta xét delta của phương trình bậc hai:
\[
\Delta = (-2(m+3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4(m+3)^2 - 16 = 4((m+3)^2 - 4)
\]
\[
\Delta = 4(m^2 + 6m + 9 - 4) = 4(m^2 + 6m + 5)
\]
Để phương trình không có nghiệm (hoặc có nghiệm kép), ta cần:
\[
\Delta \leq 0
\]
\[
m^2 + 6m + 5 \leq 0
\]
Giải bất phương trình:
\[
\Delta' = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16
\]
\[
m_1 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2} = -5, \quad m_2 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2} = -1
\]
Vậy \( -5 \leq m \leq -1 \).

### Bước 4: Tổng các giá trị nguyên của \( m \)
Các giá trị nguyên của \( m \) thoả mãn là \( m = -5, -4, -3, -2, -1 \).

Tổng các giá trị nguyên của \( m \):
\[
S = -5 + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) = -15
\]

Vậy tổng \( S = -15 \).

---

Có cần giải thích thêm chi tiết không? Dưới đây là một số câu hỏi liên quan:

1. Đạo hàm của hàm số là gì và tại sao điều kiện đồng biến lại liên quan đến nó?
2. Bất phương trình \( x^2 - 2(m+3)x + 4 \geq 0 \) có ý nghĩa gì trong bài toán này?
3. Cách giải bất phương trình bậc hai với điều kiện không âm là như thế nào?
4. Vì sao phương trình phải luôn không âm để hàm số đồng biến?
5. Tổng các giá trị nguyên được tính như thế nào và vì sao?

**Mẹo**: Luôn kiểm tra delta trong các bất phương trình bậc hai khi yêu cầu tính đồng biến của một hàm số.

Learn how to determine the sum of integer values of m to ensure the function y=(x^2-2(m+4)x+2m+12).e^x is monotonic over its domain. This problem involves key algebraic and calculus concepts, including derivatives and quadratic inequalities. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation