17. En la situació indicada en la figura, el cos, que està enganxat a la molla, té una massa de 75 g, i el
vagó es mou amb acceleració constant de manera que en 8 s recorre un espai de 10 m. Se suposa que
no hi ha fregament entre el cos i el terra del vagó, i sabem que la molla experimenta un allargament
de 3,4 cm.
a) Quan val la constant elàstica de la molla?
b) Si el vagó es mou cap a la dreta amb una acceleració de
0,39 m/s2
, quina deformació experimenta la molla?
c) En quina llei ens basem per poder realitzar els anteriors
càlculs? Enuncieu-la.

Anem a resoldre el problema pas a pas utilitzant els conceptes de la segona llei de Newton i la llei de Hooke, que relacionen la força amb l’acceleració i la deformació d’una molla.

### Dades donades:
- Massa del cos, \( m = 75 \, \text{g} = 0.075 \, \text{kg} \)
- El vagó es mou amb una acceleració constant i recorre \( 10 \, \text{m} \) en \( 8 \, \text{s} \)
- Allargament inicial de la molla, \( \Delta x = 3.4 \, \text{cm} = 0.034 \, \text{m} \)
- Acceleració del vagó, \( a = 0.39 \, \text{m/s}^2 \) (apartat b)

### a) Determinar la constant elàstica de la molla, \( k \)

Per trobar la constant elàstica \( k \), primer necessitem calcular l'acceleració constant del vagó durant els primers 8 segons.

La fórmula per l'espai recorregut amb acceleració constant és:

\[
x = \frac{1}{2} a t^2
\]

Reorganitzem per trobar l'acceleració \( a \):

\[
a = \frac{2x}{t^2}
\]

Substituïm els valors donats:

\[
a = \frac{2 \cdot 10}{8^2} = \frac{20}{64} = 0.3125 \, \text{m/s}^2
\]

Aquesta és l'acceleració del vagó en els primers 8 segons.

Ara, calculem la força que actua sobre el cos, que és la força elàstica de la molla, utilitzant la segona llei de Newton:

\[
F = m \cdot a
\]

Substituïm els valors:

\[
F = 0.075 \cdot 0.3125 = 0.02344 \, \text{N}
\]

La força elàstica de la molla també ve donada per la llei de Hooke:

\[
F = k \cdot \Delta x
\]

Reorganitzem per trobar la constant elàstica \( k \):

\[
k = \frac{F}{\Delta x} = \frac{0.02344}{0.034} = 0.689 \, \text{N/m}
\]

Així doncs, la constant elàstica de la molla és aproximadament \( k = 0.689 \, \text{N/m} \).

### b) Determinar la deformació de la molla amb una acceleració de \( 0.39 \, \text{m/s}^2 \)

Quan el vagó s'accelera amb \( 0.39 \, \text{m/s}^2 \), la força sobre el cos és:

\[
F = m \cdot a = 0.075 \cdot 0.39 = 0.02925 \, \text{N}
\]

Utilitzant la llei de Hooke, la deformació de la molla serà:

\[
\Delta x = \frac{F}{k} = \frac{0.02925}{0.689} = 0.04245 \, \text{m} = 4.245 \, \text{cm}
\]

Per tant, la deformació de la molla amb aquesta acceleració és \( \Delta x = 4.245 \, \text{cm} \).

### c) En quina llei ens basem?

Ens basem en les següents lleis:
1. **Segona Llei de Newton**: La força que actua sobre un cos és igual a la massa del cos multiplicada per la seva acceleració.
   - **Enunciat**: \( F = m \cdot a \)
2. **Llei de Hooke**: La força necessària per deformar una molla és proporcional a la deformació (o allargament) de la molla, sent la constant de proporcionalitat la constant elàstica \( k \).
   - **Enunciat**: \( F = k \cdot \Delta x \)

---

Tens alguna pregunta sobre els càlculs o vols més detalls? Aquí tens 5 preguntes relacionades:

1. Com es determina l’acceleració d’un cos si només tenim la seva velocitat inicial i final?
2. Quina és la relació entre l’energia potencial elàstica i la constant de la molla?
3. Com afecta el fregament a la deformació de la molla?
4. Què passaria amb la força elàstica si s'augmentés la massa del cos?
5. Com es pot mesurar experimentalment la constant \( k \) d'una molla?

**Tip**: Si una molla és sotmesa a una força que supera el seu límit elàstic, deixarà de seguir la llei de Hooke i es deformarà de manera permanent.

En la situació indicada en la figura, el cos, que està enganxat a la molla, té una massa de 75 g, i el vagó es mou amb acceleració constant de manera que en 8 s recorre un espai de 10 m. Se suposa que no hi ha fregament entre el cos i el terra del vagó, i sabem que la molla experimenta un allargament de 3,4 cm.
a) Quan val la constant elàstica de la molla?
b) Si el vagó es mou cap a la dreta amb una acceleració de 0,39 m/s², quina deformació experimenta la molla?
c) En quina llei ens basem per poder realitzar els anteriors càlculs? Enuncieu-la.

Learn how to calculate the spring constant and deformation using Newton's Second Law and Hooke's Law. This problem involves concepts from physics, such as constant acceleration, mass, and force, to solve for the spring's elastic constant and its deformation under varying accelerations. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation