Determine o domínio das seguintes funções:
(a) f(x) = 1
x2−4 Resp: {x ∈ R/x ̸= −2 ou x ̸= 2}
(b) f(x) = √
x
2 − 4 Resp: {x ∈ R/x ⩽ −2 ou x ⩾ 2}
(c) f(x) = √
1
x2−4
Resp: {x ∈ R/x < −2 ou x > 2}
(d) f(x) = 1
1+√
x
Resp: R+
(e) f(x) =
√
x
x2−9 Resp: R+ − {3}
(f) f(x) = √
x
2 − 3x − 4
(g) f(x) = 1
√3 2x+3
(h) f(x) =√
x
2 − 4 + √
x
2 − x − 6

Vamos determinar o domínio de cada uma das funções dadas:

(a) \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \)
Para que a função esteja definida, o denominador não pode ser zero:
\[ x^2 - 4 \neq 0 \]
\[ (x - 2)(x + 2) \neq 0 \]
\[ x \neq 2 \]
\[ x \neq -2 \]
Logo, o domínio é:
\[ \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -2 \text{ e } x \neq 2\} \]

(b) \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \)
Para que a função esteja definida, a expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:
\[ x^2 - 4 \geq 0 \]
\[ (x - 2)(x + 2) \geq 0 \]
Isso ocorre quando \( x \leq -2 \) ou \( x \geq 2 \).
Logo, o domínio é:
\[ \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq -2 \text{ ou } x \geq 2\} \]

(c) \( f(x) = \sqrt{\frac{1}{x^2 - 4}} \)
Para que a função esteja definida, o denominador \( x^2 - 4 \) deve ser diferente de zero e a expressão \( \frac{1}{x^2 - 4} \) deve ser maior que zero:
\[ x^2 - 4 > 0 \]
\[ (x - 2)(x + 2) > 0 \]
Isso ocorre quando \( x < -2 \) ou \( x > 2 \).
Logo, o domínio é:
\[ \{x \in \mathbb{R} \mid x < -2 \text{ ou } x > 2\} \]

(d) \( f(x) = \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \)
Para que a função esteja definida, o denominador \( 1 + \sqrt{x} \) deve ser diferente de zero:
\[ 1 + \sqrt{x} \neq 0 \]
\[ \sqrt{x} \neq -1 \]
Como \( \sqrt{x} \) é sempre não-negativo, \( \sqrt{x} \neq -1 \) é sempre verdadeiro. Além disso, para que a raiz quadrada seja definida, \( x \) deve ser maior ou igual a zero:
\[ x \geq 0 \]
Logo, o domínio é:
\[ \{x \in \mathbb{R}^+ \} \]

(e) \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 - 9} \)
Para que a função esteja definida, \( x \) deve ser maior ou igual a zero e o denominador não pode ser zero:
\[ x \geq 0 \]
\[ x^2 - 9 \neq 0 \]
\[ (x - 3)(x + 3) \neq 0 \]
\[ x \neq 3 \]
\[ x \neq -3 \]
Como \( x \geq 0 \), a única restrição relevante é \( x \neq 3 \).
Logo, o domínio é:
\[ \{x \in \mathbb{R}^+ \mid x \neq 3 \} \]

(f) \( f(x) = \sqrt{x^2 - 3x - 4} \)
Para que a função esteja definida, a expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:
\[ x^2 - 3x - 4 \geq 0 \]
\[ (x - 4)(x + 1) \geq 0 \]
Isso ocorre quando \( x \leq -1 \) ou \( x \geq 4 \).
Logo, o domínio é:
\[ \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq -1 \text{ ou } x \geq 4\} \]

(g) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{2x + 3}} \)
Para que a função esteja definida, o denominador \( \sqrt[3]{2x + 3} \) deve ser diferente de zero:
\[ \sqrt[3]{2x + 3} \neq 0 \]
\[ 2x + 3 \neq 0 \]
\[ x \neq -\frac{3}{2} \]
Logo, o domínio é:
\[ \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -\frac{3}{2} \} \]

(h) \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 - x - 6} \)
Para que a função esteja definida, ambas as expressões dentro das raízes quadradas devem ser maiores ou iguais a zero:
\[ x^2 - 4 \geq 0 \]
\[ x^2 - x - 6 \geq 0 \]
Já determinamos que:
\[ x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2 \text{ ou } x \geq 2 \]
Para \( x^2 - x - 6 \geq 0 \):
\[ (x - 3)(x + 2) \geq 0 \]
Isso ocorre quando \( x \leq -2 \) ou \( x \geq 3 \).

A interseção das duas condições é:
\[ x \leq -2 \text{ ou } x \geq 3 \]

Logo, o domínio é:
\[ \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq -2 \text{ ou } x \geq 3 \} \]

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, estarei à disposição. Aqui estão cinco perguntas que você pode querer fazer:

1. Como determinar o domínio de uma função composta?
2. Como resolver inequações envolvendo raízes quadradas?
3. Quais são as propriedades dos radicais que afetam o domínio de uma função?
4. Como determinar o domínio de uma função racional?
5. Como as raízes cúbicas afetam o domínio de uma função?

**Dica:** Para encontrar o domínio de uma função, é útil primeiro identificar as operações que podem restringir o domínio, como divisão por zero e raízes quadradas de números negativos.

Explore how to determine the domain of functions such as square roots, rational functions, and more. Each function's domain is carefully analyzed with clear explanations and step-by-step solutions. Suitable for high school students learning about functions and their domains.

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