1. Para cada una de las siguientes curvas determinar dominio y conjunto de puntos en
los cuales resulta continua.
(a) r(t) = (sin(t), cos(t)),


sin(t)
2
2
(b) r(t) =
, ln(t − t), t ,
t

sin(t)


si t ̸= 0,
√
t
(c) r(t) = (r1 (t), r2 (t)) donde r1 (t) = t y r2 (t) =


1
si t = 0.

Para determinar el dominio y el conjunto de puntos en los cuales las curvas dadas son continuas, analizaremos cada componente de las funciones vectoriales por separado.

### (a) \( r(t) = (\sin(t), \cos(t)) \)

#### Dominio:
Ambas funciones componentes, \(\sin(t)\) y \(\cos(t)\), están definidas para todos los valores de \( t \in \mathbb{R} \).

**Dominio:** \( \mathbb{R} \).

#### Continuidad:
Las funciones \(\sin(t)\) y \(\cos(t)\) son continuas en todo su dominio. Por lo tanto, la curva vectorial \( r(t) \) es continua en todo \( t \in \mathbb{R} \).

**Conjunto de continuidad:** \( \mathbb{R} \).

---

### (b) \( r(t) = \left( \frac{\sin(t)}{t}, \ln(t - t), t^2 \right) \)

#### Dominio:

1. **Componente 1:** \( \frac{\sin(t)}{t} \).
   - Esta función está definida para todos los valores de \( t \) excepto en \( t = 0 \). Sin embargo, podemos definirla como continua en \( t = 0 \) usando el límite:  
     \[
     \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1
     \]
     Por lo tanto, para hacer continua la función en \( t = 0 \), definimos:  
     \[
     \frac{\sin(t)}{t} = \begin{cases} 
     \frac{\sin(t)}{t} & \text{si } t \neq 0 \\
     1 & \text{si } t = 0
     \end{cases}
     \]

2. **Componente 2:** \( \ln(t - t) = \ln(0) \).
   - Esta función no está definida para ningún valor de \( t \) ya que \(\ln(0)\) es indefinido.
   - **Conclusión:** La curva no tiene ningún punto en su dominio.

3. **Componente 3:** \( t^2 \).
   - Esta función está definida para todos los valores de \( t \in \mathbb{R} \).

Dado que la segunda componente no está definida para ningún \( t \), **el dominio de la curva vectorial es vacío**.

**Dominio:** \(\emptyset\).

**Conjunto de continuidad:** \(\emptyset\).

---

### (c) \( r(t) = \left( r_1(t), r_2(t) \right) \) donde:

- \( r_1(t) = \sqrt{t} \)
- \( r_2(t) = \begin{cases}
\frac{\sin(t)}{\sqrt{t}} & \text{si } t \neq 0 \\
1 & \text{si } t = 0 
\end{cases} \)

#### Dominio:

1. **Componente 1:** \( \sqrt{t} \).
   - La raíz cuadrada de \( t \) está definida para \( t \geq 0 \).

2. **Componente 2:** 
   - La función \( \frac{\sin(t)}{\sqrt{t}} \) está definida para \( t > 0 \).
   - Para \( t = 0 \), la función está definida como 1.

**Dominio:** \( t \geq 0 \).

#### Continuidad:

1. **Componente 1:** \( \sqrt{t} \).
   - Es continua para \( t \geq 0 \).

2. **Componente 2:** 
   - Para \( t > 0 \), \( \frac{\sin(t)}{\sqrt{t}} \) es continua.
   - En \( t = 0 \), se define como 1.
   - Analicemos la continuidad en \( t = 0 \):
     \[
     \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin(t)}{\sqrt{t}} = 0
     \]
   - Como este límite no coincide con el valor definido en \( t = 0 \), la función no es continua en \( t = 0 \).

**Conjunto de continuidad:** \( t > 0 \).

---

### Resumen:

1. (a) Dominio: \( \mathbb{R} \). Continuidad: \( \mathbb{R} \).
2. (b) Dominio: \( \emptyset \). Continuidad: \( \emptyset \).
3. (c) Dominio: \( [0, \infty) \). Continuidad: \( (0, \infty) \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta específica? Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la continuidad de una función vectorial en múltiples dimensiones?
2. ¿Qué métodos se utilizan para encontrar límites de funciones vectoriales en puntos de discontinuidad?
3. ¿Cuáles son las propiedades de las funciones trigonométricas en términos de continuidad?
4. ¿Cómo se determina la continuidad de una función en varios puntos al mismo tiempo?
5. ¿Qué teoremas importantes de continuidad son relevantes para funciones vectoriales?

**Tip:** Al estudiar la continuidad de funciones vectoriales, es útil examinar cada componente individualmente y luego considerar la continuidad conjunta del vector completo.

Para cada una de las siguientes curvas determinar dominio y conjunto de puntos en los cuales resulta continua. (a) r(t) = (sin(t), cos(t)), (b) r(t) = (sin(t)/t, ln(t − t), t^2), (c) r(t) = (r1(t), r2(t)) donde r1(t) = sqrt(t) y r2(t) = (sin(t)/sqrt(t) si t ̸= 0, 1 si t = 0).

Analyze the domain and continuity of vector functions, including r(t) = (sin(t), cos(t)), r(t) = (sin(t)/t, ln(t − t), t^2), and r(t) = (sqrt(t), sin(t)/sqrt(t)). Understand the continuity of trigonometric and logarithmic functions, with insights into limits and key calculus theorems. Suitable for university-level calculus students.

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