Vamos a reemplazar \( x = \frac{21}{4} \) en la derivada que obtuvimos:

La derivada obtenida es:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{21 - 8x}{3 - 21x}
\]

Sustituyendo \( x = \frac{21}{4} \):

### Paso 1: Sustitución en el numerador
\[
21 - 8\left(\frac{21}{4}\right) = 21 - \frac{168}{4} = 21 - 42 = -21
\]

### Paso 2: Sustitución en el denominador
\[
3 - 21\left(\frac{21}{4}\right) = 3 - \frac{441}{4} = 3 - 110.25 = -107.25
\]

### Paso 3: Simplificación de la derivada
Ahora reemplazamos los valores en la derivada:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-21}{-107.25}
\]
Simplificamos la fracción:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{21}{107.25}
\]

Esta fracción se puede simplificar más dividiendo el numerador y el denominador entre 21:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5.1071}
\]

\[
\frac{dy}{dx} \approx 0.1957
\]

Por lo tanto, el valor aproximado de la derivada \( \frac{dy}{dx} \) cuando \( x = \frac{21}{4} \) y \( y = 1 \) es aproximadamente 0.1957.

¿Necesitas alguna aclaración o algún detalle adicional?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Qué significado tiene el valor de la derivada en este punto específico de la curva?
2. ¿Cómo cambiaría la derivada si cambiamos el valor de \( x \)?
3. ¿Qué implica que la derivada sea positiva en este punto?
4. ¿Cómo afecta el valor de \( y \) a la derivada en otros puntos?
5. ¿Qué sucede si se toma un \( x \) diferente, pero cercano a \( \frac{21}{4} \)?

**Tip:** Es útil simplificar fracciones antes de hacer cálculos más complejos, ya que puede facilitar el proceso y minimizar errores.

Explore the calculation and simplification of the derivative at x = 21/4. Learn how to substitute values, simplify fractions, and interpret the derivative result in mathematical contexts. Suitable for undergraduate-level understanding.

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